tailieunhanh - Bất đẳng thức Schur và ứng dụng

Bất đẳng thức Schur và ứng dụng | BĐT 2 tương đương với các BĐT sau ứ3 ò3 c3 3abc a2b ab2 b2c bc2 c2a 4- cai2 3 b c - đXđ c - b a b -c abc 4 4 ữ b c ab bc ca a b CỸ 9abc 5 III. ỨNG DỤNG Ở phần tiếp theo chúng tôi trinh bày một sổ áp dụng của BĐT Schur dưới dạng 2 3 4 5 qua một so thí dụ. http vn http lãn Bất dẳng th Schur VÀ ỨNG DỤNG TRẲN XUÂN ĐÁNG G V THPĨ Chuyên Lẽ Hóng Phong Nam Dịnh Thí dụ 1. Cho ba số thực không âm X y z thỏa mân x y z 1. Chứng minh răng A . _ . _ _7 0 xy yz zx - 2xyz DÌ thi Toủn Quốc tể - 1984 I. BÁT ĐẢNG THỨC SCHUR Nếu a. b. c và t là các sổ thực dương bất kì thì a a - b a - c b b - c b - a c c-a c-b 0 I Chứng minh. Không mất tính tổng quát già sử a 2 b c 0. Khi đó a b a a - 6 a - c ì b a - b b - c à a - b a - c h b - c b - đ 0. Mặt khác c c - a c - ờ 0. Vậy à La - b a - c b h - cỴb - a c c - aXc - b 0. Đẳng thức ở 1 xảy ra khi và chi khi a b - c. II. HỆ QUẢ l Nểu I ta có a a - Xứ -c b b- c b - ỡ c c - a c - b 0 2 Lời giảL Ta có xy yz zx - 2xyz - ỡ y 2XJfy yz zx - 2xyz x2y xy2 ý2z yz2 Z2X zx2 xyz ằ 0 xy yz zx - 2xyz ịị o X y z xy yz zx - 2xyz s ắ x y z 3. o 7 x3 15xyz 6 y xy2 y2z yz2 Z2X zx2 6 Theo BĐT 3 ta có 6 3xys 6 x2 xy2 z yz2 z2x zx2 . X3 y è 3xyz. Từ đó và theo BĐT Cauchy suy ra 6 Vậy BĐT 6 là đúng. Dấu băng ở 6 xảy ra x y z Thí dụ 2. Giả sử a b c là ba sổ thực dương sao cho abc I. Chứng minh răng Dẻ thi Toán Quốc tế - 2000 Lời giải. Dặt X a y 1 z Ý ac b thì a b c . y BDT 7 8 yzx Từ đô và BĐT 4 thi BĐT 8 đúng. Suy ra BĐT 7 đúng. Dấu bảng ở 7 xảy ra khi và chi khi a - b c 1. Thi dụ 3. Cho ba số thực dương ứ b. c. Chứng minh răng a2 4 2Xỏ2 4 2Xc2 2 a 9 ab bc 4 ca 9 Đẻ thi Olympic Toán Cháu Ả - Thài Bình - 2004 Lài giãi. BĐT 9 tương đương với a262c2 4 2 ơ2à2 4 Ờ2C2 4 Sa2 4 4 a24òW 4 8 a 9 aò 4 bc ca . Ta cỏ a2 b2 c2 z ab bc ca -y ứ2 2 4 1 4 Ò2C2 4 1 4 c2ứ2 4 1 a 2 ab bc ca a2b2c2 I 4 I a 3 tfa2b2c2 a ---7 a 6 c a 4 aờ 4 bc 4 ca - ơ b 4 c 2 theo BĐT 5 a2b2c2 4 2 a 2 ab bc ca - a2 4 b2 4 c2 Vậy a2b2c2 4 2 4 l a2b2 4 b2c2 4- c2a2 4 3 4 4 4 .