tailieunhanh - Bất đẳng thức Ptolemy và ứng dụng

Bất đẳng thức Ptolemy và trường hợp đặc biệt của nó, định lý Ptolemy về tính chất của tứ giác nội tiếp là một trong những kết quả kinh điển và đẹp của hình học sơ cấp. Có thể nói, bất đẳng thức Ptolemy và định lý Ptolemy đẹp từ các cách chứng minh đa dạng đến những ứng dụng phong phú trong các bài toán chứng minh, trong tính toán hình học và trong các bài toán bất đẳng thức hình học. . | Bất đẳng thứe Ptolemy và ứng dụng Trần Nam Dũng Bất đẳng thứe Ptolemy và trường hợp đặe biệt eủa nó định lý Ptolemy về tính ehất của tứ giáe nội tiếp là một trong những kết quả kinh điên và đẹp của hình họe sơ cấp. Có thể nói bất đẳng thứe Ptolemy và định lý Ptolemy đẹp từ eáe eáeh ehứng minh đa dạng đến những ứng dụng phong phú trong eáe bài toán chứng minh trong tính toán hình họe và trong các bài toán bất đẳng thứe hình họe. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét những khía eạnh thú vị eủa bất đẳng thứe Ptolemy chứng minh một luận điểm thú vị là bất đẳng thứe Ptolemy thựe ehất vừa là hệ quả vừa là mở rộng eủa bất đẳng thứe tam giáe. Tiếp theo ehúng ta sẽ xem xét các ứng dụng phong phú eủa eáe kết quả này trong hình họe và cả trong eáe môn họe kháe như số họe lý thuyết đồ thị . Bất đẳng thức Ptolemy là hệ quả của bất đẳng thức tam giác Ai cũng biết bất đẳng thứe tam giáe Với A B c là ba điểm bất kỳ trên mặt phẳng ta eó AB BC AC 1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A B c thẳng hàng và B nằm giữa A và C. Nói cách khác AB kBC với k là một số thựe dương. Trong khi đó bất đẳng thứe Ptolemy khẳng định Với 4 điểm A B c D bất kỳ trên mặt phẳng ta eó - 2 . Rõ ràng theo một quan điểm nào đó thì bất đẳng thứe Ptolemy chính là mở rộng của bất đẳng thứe tam giáe. Vì sao vậy Xin giải thíeh lý do Chia hai vế eủa 2 eho BD ta đượe ABCD BCAD AC BD BD Nếu ehọn D đủ xa thì từ đây ta sẽ suy ra AB - BC AC. Điều này nghe cũng ngạe nhiên tuy nhiên lợi íeh đem lại eủa sự đặe biệt hoá này không nhiều vì chẳng lẽ lại dùng bất đẳng thứe Ptolemy eao siêu để ehứng minh bất đẳng thứe tam giáe vốn đượe eoi như tiên đề Tuy nhiên một logieh rất tự nhiên dẫn ehúng ta đến một ý tưởng hữu íeh hơn Như vậy bất đẳng thứe Ptolemy eó liên quan đến bất đẳng thứe tam giáe. Vậy eó thể là bất đẳng thứe Ptolemy có thể được ehứng minh nhờ vào bất đẳng thứe tam giáe Điều này quả là như vậy. Ba phép chứng minh tiêu biểu dưới đây sẽ minh chứng eho luận điểm này Cách chứng minh thứ nhất Sử dụng .