tailieunhanh - Junior problems - Phần 1

Tham khảo tài liệu 'junior problems - phần 1', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Junior problems J163. Let a b c be nonzero real numbers such that ab bc ca 0. Prove that ab bc ca 1 a2 b2 I b2 c2 I c2 a2 2 Proposed by Titu Andreescu University of Texas at Dallas USA Solution by Ercole Suppa Teramo Italy We have Eab X X f ab 1 3 X X a b 2 3 cyc a2 b2 V a2 b2 2 2 C-c 2 a2 b2 _ 2 X a b 2 3 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 c 2 a2 b2 c2 _ 2 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 1 1 1 a2 b2 c2 _ 2 a2 b2 c2 _ 2 - 2 where in the last step we have used the fact that ab bc ca 0. Also solved by Arkady Alt San Jose California USA Daniel Lasaosa Universidad Pública de Navarra Spain Perfetti Paolo Dipartimento di Matematica Università degli studi di Tor Vergata Roma Italy Prithwijit De HBCSE India Andrea Ligori Università di Roma Tor Vergata Italy Piriyathumwong P. Bangkok Thailand. Mathematical Reflections 4 2010 1 J164. If x and y are positive real numbers such that x px2 1j yy py2 1 j 2011 find the minimum possible value of x y. Proposed by Neculai Stanciu George Emil Palade Buzau Romania First solution by Michel Bataille France The required minimum value is J2oi i Write x sinh a and y sinh b where a ln x px2 1 0 and b ln y y y2 1 0. From the hypothesis we have a b ln 2011 and using a known formula x y sinh a sinh b 2 sinh cosh 2 sinh a 2 sinh ln p2011 a b 2 a b 2 where the inequality follows from cosh t 1 for all t and sinh u 0 for u 0. Since 2sinh ln p2011 p2011------p 2 J we obtain y 2011 y 2011 2010 x y . p2011 Clearly equality holds when a b since cosh 0 1 that is when x y. The result follows. Second solution by the authors Let z x px2 1. We have z 0 and 1 x pp. From hypothesis y y y2 1 20p TTTZ ri A-f o I _ 2011 z LVaivì 1 A rtnr o we get 2 y 2-2011-2. From 1 and 2 p - 1 Ệ 20112 - z2 _ 2010 x y 2z 2 2011 z 2 2011 2011 2010 2011 z z 2ÕĨĨV z z The equality occurs for z 2011 or equivalently z2 2011. Then from 1 and we obtain C 1 mintT -I- _J2010 So min x y 2011. 2 2010 1005 x y - . 2p2011 y 2011 Also solved by Arkady Alt San Jose California USA Francisco Javier .

• Trung học phổ thông
• bồi dưỡng học sinh giỏi toán
• tài liệu toán thi học sinh giỏi
• toán nâng cao
• olympic toán học
• tài liệu toán nâng cao
• Bồi dưỡng học sinh giỏi
• Bồi dưỡng Toán THCS
• Biện pháp bồi dưỡng
• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
• Chuyên đề học sinh giỏi
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Lớp 6
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi
• Giải Toán bằng máy tính Casio
• Kỹ năng giải Toán
• Bài tập Toán 6
• Ôn tập Toán 6
• Đề thi học sinh giỏi Toán
• Bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi
• Toán lớp 8
• Bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8
• Bài toán học sinh giỏi Toán lớp 8
• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9
• Ôn tập Toán đại số lớp 9
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán đại số lớp 9
• Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9
• 10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi
• Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 12
• Ôn tập Toán
• Bài tập Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Hình học 12
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi 12
• Khối đa diện
• Thể tích khối đa diện
• Phương pháp tọa độ trong không gian
• Phương trình mặt phẳng
• Khối tròn xoay
• Tọa độ không gian
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích 12
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12
• Ứng dụng đạo hàm
• Đồ thị hàm số
• Hàm số mũ
• Hàm số logarit
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích
• Hàm số lũy thừa
• Phương pháp biến đổi biến số
• Phương trình số phức
• Dạng lượng giác
• Căn bậc hai số phức
• 20 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 8
• Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
• Đề thi học sinh giỏi Toán 8
• Đề thi HSG môn Toán lớp 8
• Luyện thi học sinh giỏi môn Toán THCS
• Ôn thi Toán 8
• Bài tập Toán 8
• Thực hành giải toán tiểu học
• Giải toán tiểu học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi tiểu học
• Bài toán về chuyển động
• Bài toán về suy luận logic
• Bài toán có nội dung hình học
• Giáo viên tiểu học
• Số thập phân
• Bài toán điền số vào phép tính
• Bài toán về chia hết
• Đề thi kết thúc học phần
• Đề thi kết thúc môn học
• Đề thi môn Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
• Giáo dục tiểu học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số 9
• Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số
• Đại số 9
• Phương trình bậc chia
• Hệ phương trình
• Phương trình nghiệm nguyên
• Phương trình vô tỷ
• Bất phương trình quy về bậc nhất
• Giá trị lớn nhất
• Giá trị nhỏ nhất
• Học sinh giỏi Toán THCS
• Đề thi bồi dưỡng HSG Toán 12
• Đề bồi dưỡng Toán 12
• Đề thi HSG môn Toán 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán
• Đề thi học sinh giỏi lớp 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT
• Ôn thi Toán 12
• Bài tập Toán 12
• Luyện thi HSG Toán 12
• Đề thi học sinh giỏi Toán học 9
• Nội dung bồi dưỡng Toán học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học
• Bài tập học sinh giỏi Toán học
• Ôn tập Toán học
• Đề cương ôn tập Toán học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6
• Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán 6
• Bồi dưỡng số học lớp 6
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6
• Ôn thi Toán 6
• Bài tập số học lớp 6
• Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9
• Toán lớp 9 nâng cao
• Bài tập Toán lớp 9
• Bài tập bồi dưỡng lớp 9
• Câu hỏi môn Toán
• Giải bài tập Toán lớp 9