tailieunhanh - ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ

Tham khảo tài liệu 'đề thi và lời giải đề chọn đội tuyển quốc gia dự thi olympic toán quốc tế', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI OLYMPIC TOÁN QUỐ C tế -ìỂàCỨA VIỆT NAM TỪ NĂM 2005 ĐẾN NĂM 2010 PHẦN I 1 1 1 1 1 ĐỀ BÀI 2 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2005 Ngày thi thứ nhất. Bài 1. Cho tam giác ABC có I và O lần lượt là các đường tròn nội tiếp ngoại tiếp. Gọi D E F lần lượt là tiếp điểm của I trên các cạnh BC CA AB. Gọi ữA Ũ B OC lần lượt là các đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn I và O lần lượt tại các điểm D K với đường tròn ữA tại E M với đường tròn ữB và tại F N với đường tròn ữC . Chứng minh rằng 1. Các đường thẳng DK EM FN đồng quy tại P. 2. Trực tâm của tam giác DEF nằm trên đoạn OP. Bài 2. Trên một vòng tròn có n chiếc ghế được đánh số từ 1 đến n. Người ta chọn ra k chiếc ghế. Hai chiếc ghế được chọn gọi là kề nhau nếu đó là hai chiếc ghế được chọn liên tiếp. Hãy tính số cách chọn ra k chiếc ghế sao cho giữa hai chiếc ghế kề nhau không có ít hơn 3 chiếc ghế khác. Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f z z thỏa mãn điều kiện f X3 y z3 f X 3 f y 3 f z 3 Ngày thi thứ hai. Bài 4. Chứng minh rằng a3 ố3 c3 3 - -T - - T a b 3 b c 3 c a 8 trong đó a b c là các số thực dương. Bài 5. Cho số nguyên tố p p 3 . Tính a b p-1 5 t í 2 k 1 p 2 k2 - 2 2 p-1 2 ík s t k k 1 _ p nếu p 1 mod 4 . nếu p 1 mod 8 . Bài 6. Một số nguyên dương được gọi là sốkim cương 2005 nếu trong biểu diễn thập phân của nó có 2005 số 9 đứng cạnh nhau liên tiếp. Dãy a n 1 2 3 . là dãy tăng ngặt các số nguyên dương thỏa mãn an nC C là hằng số thực dương nào đó . Chứng minh rằng dãy số a n 1 2 3 . chứa vô hạn sốkim cương 2005 .