tailieunhanh - KHAI THÁC KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ HÀM SỐ LỒI, LÕM ĐỂ ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC

Tham khảo tài liệu 'khai thác khái niệm đồ thị hàm số lồi, lõm để đánh giá bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | KHAI THÁC KHÁI NIỆM ĐÒ THỊ HÀM SỐ LÒI LÕM ĐẺ ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC 1. Cơ sở lí thuyết. a. Định nghĩa Cho hàm số y f x liên tụe a b và eó đồ thị là C . Khi đó ta eó hai điểm A a f a B b f b nằm trên đồ thị C . i Đồ thị C gọi là lồi trên a b nếu tiếp tuyến tại mọi điểm nằm trên cung AB luôn nằm phía trên đồ thị C . ii Đồ thị C gọi là lõm trên a b nếu tiếp tuyến tại mọi điểm nằm trên cung AB luôn nằm phía duới đồ thị C . b. Dấu hỉệu đồ thị lồi Định lí 1 Cho hàm số y f x eó đạo hàm cấp hai liên tụe trên a b Nếu f x 0 x e a b thì đồ thị hàm số lõm trên a b Nếu f x 0 x e a b thì đồ thị hàm số lồi trên a b c. Ứng dụng Từ hình ảnh trực quan của định nghĩa cho ta một phương pháp giải eáe bài toán BĐT và cựe trị sau Nguyễn Tất Thu - Trường Lê hồng Phong - Biên Hòa 1 Định lí 2 Bất đẳng thứe tiếp tuyến Cho hàm số y f x liên tụe và eó đạo hàm đến eấp hai trên a b . i Nếu f x 0 x e a b thì f x f x0 x - Xq f xg x0 e a b ii Nếu f x 0 x e a b thì f x f xo x - x0 f x0 Vx0 e a b Đẳng thứe trong hai Bất đẳng thứe trên xảy ra x x0. Ta có thể ehứng minh định lí trên như sau i Xét hàm số g x f x - f x0 x - x0 - f x0 x e a b Ta có g x f x - f X0 g x f x 0 x e a b g x 0 x x0 và g x đổi dấu từ - sang khi x qua x0 nên ta có g x g x0 0 x e a b . ii Chứng minh tương tự. Định lí 3 Bất đẳng thứe eát tuyến Cho hàm số y f x liên tụe và eó đạo hàm đến eấp hai trên a b . i Nếu f x 0 x e a b thì f x f a- x - a f a x0 e a b a - b 0 ii Nếu f x 0 x e a b thì f x f a x - a f a X0 e a b . a - b 0 Đẳng thứe trong eáe BĐT trên có khi và chỉ khi x a hoặe x b. 2. Nội dung biện pháp thực hiện giải pháp eủa đề tài Ví dụ 1 Cho các số thựe dương a b c thỏa a b c 1. Chứng minh rằng a b c 3 yja2 1 ựb2 1 7c2 1 1 Giải Xét hàm số f x x Ịx2 1 với x e 0 1 . Ta có f x . 1 f x -----. 3x 0 x e 0 1 V x2 1 3 V x2 1 5 Nguyễn Tất Thu - Trường Lê hồng Phong - Biên Hòa 2 Nên ta có f a f 1 a - 1 f 1 J v 37 v 37 J v37 f b f 1 b - 1 f 1 J x 37 v 37 x 3 f c f 1 c - 1 f 1 333 -1 A 1 b X 1 3 Suy ra f a f b f c f a b c -1 3f - è3 r 3