tailieunhanh - Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân

Bài toán Côsi : là bài toán dạng phương trình vi phân với điều kiện bổ sung (điều kiện ban đầu) đã cho tại không quá một điểm. | Chương 6 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I. Mở đầu. Các bài toán thường gặp có thể 2 loại: * Bài toán Côsi : là bài toán dạng phương trình vi phân với điều kiện bổ sung (điều kiện ban đầu) đã cho tại không quá một điểm. C - hằng số tích phân, phụ thuộc điều kiện ban đầu - Mỗi giá trị của C 1 nghiệm xác định. - Xác định C cần biết thêm 1 điều kiện ban đầu, ví dụ Ví dụ: Cho phương trình vi phân cấp 1: y’ = 2x + 1; (a) - Nghiệm tổng quát : y = x2 + x + C; (b) y(x=1) = 2; (c) (b) C = 0; Nghiệm của (a) là y = x2 + x thoả mãn (a) và (c). Bài toán tìm hàm số y(x) thoả mãn p/t vi phân (a) và điều kiện ban đầu (c) bài toán Côsi. Bài toán Côsi đối với phương trình vi phân cấp 1: - Cho khoảng [x0, X] - Tìm hàm số y = y(x) xác định trên [x0, X] thoả mãn: y’ = f(x,y); y(x0) = η ; ( 1 ) ( 2 ) Trong đó f(x, y) – hàm đã biết; η - số thực cho trước ( 2 ) - điều kiện Côsi hay điều kiện ban đầu. * Bài toán biên. Bài toán giải phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được cho tại nhiều hơn 1 điểm. - Cho khoảng [a, b]; - Tìm hàm y = y(x) trên [a, b] thoả mãn: Trong nhiều trường hợp giải gần đúng . y’ + p(x)y’ +q(x,y) = f(x); ( 3 ) với điều kiện y(a) = α; y(b) = β ( 4 ) II. Giải bài toán Côsi. 1. Phương pháp chuỗi Taylo. y’ = f(x, y); y(x0) = η ; Khai triển nghiệm y(x) tại x = x0: ( 5 ) ( 6 ) Tương tự y’” y(3)(x0) chuỗi ( 5 ). Đã CM được rằng: tổng Sn(x) của n số hạng đầu của ( 5 ) nghiệm xấp xỉ của ( 1 ) , ( 2 ); n càng lớn độ chính xác càng cao. đủ bé, chuỗi ( 5 ) nghiệm của ( 1 ), ( 2 ) Với ( 7 ) Ví dụ 1. Tìm nghiệm xấp xỉ của: ( a ) với điều kiện ban đầu: y(1) = 2; ( b ) Sử dụng chuỗi Taylo; x0 = 1; y(x0) = η = 2. Tính y(x) tại x =1,1: 1,1 – 1 =0,1 bỏ qua các số hạng cuối: Ví dụ 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân: - x0 = 0; y0 = 1; y’(0) = – 1 + 12 = 0. y’ = 2x – 1 + y2; ( a ) với điều kiện ban đầu: y(0) = 1. ( b ) - Đạo hàm ( a ): ( c ) - Đạo hàm ( c ): - Tính tiếp: - Nhận xét: - Phương pháp Taylo cho nghiệm xấp xỉ dưới dạng chuỗi. ( 5 ) 2. Phương pháp Ơ le. - | Chương 6 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I. Mở đầu. Các bài toán thường gặp có thể 2 loại: * Bài toán Côsi : là bài toán dạng phương trình vi phân với điều kiện bổ sung (điều kiện ban đầu) đã cho tại không quá một điểm. C - hằng số tích phân, phụ thuộc điều kiện ban đầu - Mỗi giá trị của C 1 nghiệm xác định. - Xác định C cần biết thêm 1 điều kiện ban đầu, ví dụ Ví dụ: Cho phương trình vi phân cấp 1: y’ = 2x + 1; (a) - Nghiệm tổng quát : y = x2 + x + C; (b) y(x=1) = 2; (c) (b) C = 0; Nghiệm của (a) là y = x2 + x thoả mãn (a) và (c). Bài toán tìm hàm số y(x) thoả mãn p/t vi phân (a) và điều kiện ban đầu (c) bài toán Côsi. Bài toán Côsi đối với phương trình vi phân cấp 1: - Cho khoảng [x0, X] - Tìm hàm số y = y(x) xác định trên [x0, X] thoả mãn: y’ = f(x,y); y(x0) = η ; ( 1 ) ( 2 ) Trong đó f(x, y) – hàm đã biết; η - số thực cho trước ( 2 ) - điều kiện Côsi hay điều kiện ban đầu. * Bài toán biên. Bài toán giải phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được cho tại nhiều hơn 1 điểm. -