tailieunhanh - Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

Mời các bạn học sinh và các thầy hãy tham khảo các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 8 giúp các em có thêm tư liệu để luyện tập chuẩn bị kì thi tới tốt hơn. Chúc các em thi tốt và đạt điểm cao nhất. | CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 - PHẦN ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT 1. Sử dụng tính chất chia hết Các tính chất thường dùng - Nếu a m và a b m thì b m. - Nếu a b b c thì a c. - Nếu ab c mà ƯCLN b c 1 thì a c. - Nếu a m b n thì ab mn. - Nếu a b a c với ƯCLN b c 1 thì a bc. - Trong m số nguyên liên tiểp bao gi ờ cũng tồn tại một số là b ộ i của m. Ví dụ 1. Tìm x y G Z thoả mãn 3x 17y 159 1 Giải Nhận xét 3x 3 159 3 suy ra 17y 3. Mà ƯCLN 17 3 1 nên y 3. Đặt y 3k k G Z . Thay vào phương trình 1 ta được 3x 159 x 17k 53 x 53 - 17k. x 53 - 17k _ k eZ . y 3k Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - 2y2 5 2 Giải Từ 2 x phải là số lẻ. Đặt x 2k 1 k G Z và thay vào 2 ta được 4k2 4k 1 - 2y2 5 2 k2 k - 1 y2 Suy ra y2 là số chẵn y là số chẵn. Đặt y 2t t G Z thay vào ta có 2 k2 k - 1 4t2 k k 1 2t2 1 Ta thấy k k 1 là số chẵn c ò n 2t2 1 là số lẻ nên phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình 2 không có nghiệm nguyên. Từ đó ta được nghiệm của phương trình 1 là TRẦN NGỌC ĐẠI THCS THỤY THANH 1 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 2. Đưa về phương trình ước s ố Ví dụ 3. Tìm x y G Z thoả mãn phương trình xy - x - y 2 3 Giải Ta có 3 xy - x - y 1 3 x y - 1 - y - 1 3 x - 1 y - 1 3 Suy ra x - 1 G Ư 3 . Vì Ư 3 ĩ 1 3 nên ta có bảng sau x - 1 1 -1 3 -3 y - 1 3 -3 1 -1 x 2 0 4 -2 y 4 -2 2 0 Vậy các nghiệm nguyên của phương trình 3 là 4 2 2 4 0 -2 -2 0 . Ví dụ 4. Tìm x G Z để x2 - 2x - 4 là một số chính phương. Giải Đặt x2 - 2x - 4 y2 y G Z x - 1 2 - y2 5 x - 1 - y x - 1 y 5 4 . Vì 5 -1 . -5 nên từ 4 ta có các trường hợp x - y ĩ 2 . íx ĩ 4 1 thoả mãn . x y ĩ 6 y ĩ 2 x - y ĩ 0 X 1 x ĩ y ĩ -2 thoả mãn . x y ĩ -4 x y ĩ 6 x y ĩ 2 íx y ĩ-4 1 x y ĩ 0 I Vậy các giá trị x cần tìm là x G -2 4 . - Trường hợp 1 - Trường hợp 2 - Trường hợp 3 - Trường hợp 4 x -1 - y ĩ 1 x -1 y ĩ 5 x -1 -yĩ-1 1 y ĩ-5 x -1 - y ĩ 5 x -1 y ĩ 1 x -1 - y ĩ-5 x - 1 y ĩ-1 x ĩ 4 thoả mãn . y 2 x - thoả mãn . I yĩ2 3. Tách ra .