tailieunhanh - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ VỚI CÁC BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN

Chúng ta đã quen biết bài toán tìm cực trị của hai biến có một điều kiện ràng buộc, chẳng hạn như bài toán sau: VD1: Tìm GTLN của tích xy với x, y là các số dương thoả mãn điều kiện x + y = s, trong đó s là số dương cho trước | PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CựC TRỊ ĐẠI SỐ VỚI CÁC BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN Chúng ta đã quen biết bài toán tìm cực trị của hai biến có một điều kiện ràng buộc chẳng hạn như bài toán sau VD1 Tìm GTLN của tích xy với x y là các số dương thoả mãn điều kiện x y s trong đó s là số dương cho trước Giải Cách 1 áp dung trực tiếp bất đẳng thức Cô-si . 2 x y I xy n 2 J s 4 s 2. . . Vậy GTLN xy khi và chỉ khi x y s 2 Cách 2 Đưa về xét cực trị của hàm một biến xy x s - x sx - x x 22 s í 2 s I -x sx H 4 l 4 Vậy GTLN xy khi và chỉ khi x y s 4 2 Cách 3 Sắp thứ tự giá trị các biến theo điều kiện hoặc khi vai trò của chúng như nhau và so sánh với giá trị không đổi xen giữa chúng. Giả sử x y . Từ x y s ta có 5 . í s ìí s ì s í s ì s2 x y nên I x- II y- 0 xy I x y- 0 xy 2 I 2 A 2 21 2 4 Vậy GTLN xy s- khi và chỉ khi x y s Việc giải bài toán trên sẽ khó khăn hơn khi các biến bị ràng buộc thêm một điều kiện nữa VD2 Tìm GTLN của tích xy với x y là các số dương thoả mãn hai điều kiện 1 x y s 2 y a trong đó s a là những số dương cho trước và a s Giải s s Nếu a thì theo cách giải ở VD1 ta có GTLN xy khi và chỉ khi s . _ x y a 2 Xét trường hợp a s Theo cách 2 ở VD1 đặt y a t với t 0 Từ đó xy s - y y s - a -1A a 1 -t t 2a - s a s - a a s - a vì t 0 t 2a - s 0 Đẳng thức xảy ra khi t 0 y a và GTLN xy a s - a Theo cách 3 ta thấy x s a y nên x - a y - a 0 xy a x y - a a xy as - a2 a s - a Đẳng thức xảy ra khi y a và x s - a Vậy GTLN xy a s - a VD3 Tìm GTLN của tích xyz với x y z là các số dương thoả mãn hai điều kiện 1 x y z s 2 z a trong đó s a là những số dương cho trước và a s Giải TltẤ . s 1 r 1 1 k. 1 r Z-1 J Nêu a I thì áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 33 í x y z I I s I xyz I---I I I l 3 I 3 s Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z I LG3 Lúc đó GTLN xyz .