tailieunhanh - Phương pháp dùng bất đẳng thức để giải Toán cực trị

Tham khảo tài liệu "Phương pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị" dùng giải Toán đại số giúp học sinh có thêm phương pháp giải Toán nhanh và hiệu quả. | PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CựC TRỊ VD1 Tìm GTNN của A 71 - 4X 4x2 74x2 -12x 9 Giải A 7 1 - 2 x 2 7 2 X - 3 2 1 - 2x 2x - 3 1 - 2x 2x - 3 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 - 2x 2x - 3 0 Lập bảng xét dấu x 1 3 2 2 1 - 2x 0 - - 2x - 3 - - 0 1 - 2x 2x - 3 - 0 0 - Từ đó ta có 1 - 2x 2x - 3 0 1 x 3 Vậy GTNN của A bằng 2 với 1 x 3 VD2 Tìm GTNN của hàm số f x x -1 2x - 4 3x - 9 4x -16 5x - 25 Giải Ta có f x I x -1 2 x - 4 3x - 9 4 - x 125 - 5x 3 x - 4 x -1 2 x - 4 3x - 9 4 - x 25 - 5x 3 x - 4 15 3 x-4 15 Mặt khác ta có f 4 15 suy ra minf x 15 VD3 Tìm GTNN của S x2 y2 z2 với P ax by cz không đồi với a2 b2 c2 0 . Giá trị đó đạt được khi nào Giải Theo bất đẳng thức Côsi - Bunhiacôpski ta có Z 2 I 2 I 2 _2 I 1-2 I _2 I 1 I 2 x y z a b c ax by cz . Do đó S x2 y2 z2 P a2 b2 c2 S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu tức là khi y hay nói cách abc khác S a 2 p2 c 2 Khi x aP v bP z _ cP a2 b2 c2 y a2 b2 c2 a2 b2 c2 VD4 Tìm GTLN của a A y x -1 y y - 2 biết x y 4 b B Eĩ E2 Giải Điều kiện x 1 y 2 Ta có y x -1 Ợ1. x -1 I - 2 y x-1 yỊ1. x -1 1 x -1 I V2. y -2 x x 2x 2 V2 Theo bất đẳng thức Côsi ta có sjx - 1 Ợ1. x - 1 1 x - 1 1 x x 2x 2 yỹ-2 V2. y - 2 2 y - 2 1 72 y yVĨ 2yVĨ 2ạ Ĩ 4 Max B 1 Vĩ 2 4Ĩ --- ---- 2 4 4 x -1 1 f x 2 - i y - 2 2 y 4 VD5 Tìm GTLN GTNN của A 2x 3y biết 2x2 3y2 5 Giải Ta xét biểu thức A2 2x 3y 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có A2 l ĩx y 3 3y 2 1 2 3 - x2 ự2 2 2 x42 yựã 2 3 2x2 3y2 25 x y x y 1 A2 25 2 x 3 y 5 Do A2 25 nên -5 A 5 _ x y 2 Vã MaxA 5 TV r . A r x y MinA -5 23 5 x y x y j _ _ x y 1 2x 3y 5 -1 VD6 Nếu x 0 a o b 0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a x b x . x Khi nào đạt giá trị đó Giải Biểu thức có dạng a x b x ab a b x x2 ab - --- -------- ----- ------ a b x x x x Đối với hai số dương và x ta có bất đẳng thức Cô-si ab _ ab r r x 2J x 2v ab x x Khi đó a x b x a b 240b 4a 4bý x Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 4ã Jb 2 đạt được khi x VD7 Tìm giá trị lớn nhất của a f x 2x -1 3 - 5x b f x 1 x 3 1 - x c f x 2 x d f x 2X .