tailieunhanh - Phương pháp 8: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIRICHLET

Tham khảo tài liệu 'phương pháp 8: sử dụng nguyên lý đirichlet', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Phương pháp 8 SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIRICHLET Nếu đem n 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ 2 con trở lên. Ví dụ 1 CMR Trong n 1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n. Giải Lấy n 1 số nguyên đã cho chia cho n thì được n 1 số dư nhận 1 trong các số sau 0 1 2 . n - 1 có ít nhất 2 số dư có cùng số dư khi chia cho n. Giả sử ai nq1 r 0 r n aj nq2 r a1 q2 e N aj - aj n q1 - q2 n Vậy trong n 1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n. Nếu không có 1 tổng nào trong các tổng trên chia hết cho n như vậy số dư khi chia mỗi tổng trên cho n ta được n số dư là 1 2 . n - 1 Vậy theo nguyên lý Đirichlet sẽ tồn tại ít nhất 2 tổng mà chi cho n có cùng số dư theo VD1 hiệu cùadr tổng này chia hết cho n ĐPCM . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1 CMR Tồn tại n e N sao cho 17n - 1 25 Bài 2 CMR Tồn tại 1 bội của số 1993 chỉ chứa toàn số 1. Bài 3 CMR Với 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chia hết cho 5. Bài4 Có hay không 1 số có dạng 19931993 . 1993000 . 00 1994 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SÔ Bài 1 Xét dãy số 17 172 . 1725 tương tự VD2 Bài 2 Ta có 1994 số nguyên chứa toàn bộ số 1 là 1 11 111 111 . 11 - 1994 số 1 Khi chia cho 1993 thì có 1993 số dư theo nguyên lý Đirichlet có ít nhất 2 số có cùng số dư. Giả sử đó là ai 1993q r 0 r 1993 aj 1993k r i j q k e N aj - aj 1993 q - k 111 . 11 00 . 0 1993 q - k ---V ---- V v 1 7 i - j 1994 số 1 i số 0 111 . 11 .10 j 1993 q - k x----V------- i-j 1994 số 1 mà 10 1993 1 111 . - 1993 ĐPCM 1994 số 1 Bài 3 Xét dãy số gồm 17 số nguyên bất kỳ là a1 a2 . a17 Chia các số cho 5 ta được 17 số dư ắt phải có 5 số dư thuộc tập hợp 0 1 2 3 4 Nếu trong 17 số trên có 5 số khi chia cho 5 có cùng số dư thì tổng của chúng sẽ chia hết cho 5. Nếu trong 17 số trên không có số nào có cùng số dư khi chia cho 5 tồn tại 5 số có số dư khác nhau tổng các số dư là 0 1 2 3 4 10 10 Vậy tổng của 5 số này chia hết cho 5. Bài 4 Xét dãy số a1 a1994 1993- 1994 1993 a2 19931993 . . 1993 V số .