tailieunhanh - Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG

Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k. Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n 6 với n z. Giải: Ta có n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n Vì n, n - 1; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp n (n + 1) (n - 1) 6 và 12n 6 Vậy n3 + 11n 6 | Phương pháp 5 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG Giả sử chứng minh A n k ta biến đổi A n về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k. Ví dụ 1 CMR n3 11n 6 với V n e z. Giải Ta có n3 11n n3 - n 12n n n2 - 1 12n n n 1 n - 1 12n Vì n n - 1 n 1 là 3 số nguyên liên tiếp n n 1 n - 1 6 và 12n 6 Vậy n3 11n 6 Ví dụ 2 Cho a b e z thoả mãn 16a 17b 17a 16b 11 CMR 16a 17b 17a 16b 121 Giải Có 11 số nguyên tố mà 16a 17b 17a 16b 11 16a 17b 11 17a 16b 11 1 Có 16a 17b 17a 16b 33 a b 11 2 Từ 1 và 2 16a 17b 11 17a 16b 11 Vậy 16a 17b 17a 16b 121 Ví du 3 Tìm n e N sao cho P n 5 n 6 6n. Giải Ta có P n 5 n 6 n2 11n 30 12n n2 - n 30 Vì 12n 6n nên để P 6n n2 - n 30 6n n2 - n 6 n n - 1 3 1 3 1 3 ì 30 6n 30 n 2 Từ 1 n 3k hoặc n 3k 1 k e N Từ 2 n e 1 2 3 5 6 10 15 30 Vậy từ 1 2 n e 1 3 6 10 15 30 Thay các giá trị của n vào P ta có n e 1 3 10 30 là thoả mãn Vậy n e 1 3 10 15 30 thì P n 5 n 6 6n. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1 CMR 13 33 53 73 ỉ 23 Bài 2 CMR 36n2 60n 24 ỉ 24 Bài 3 CMR a. 5n 2 8 2n 1 ỉ 59 b. 9 2n 14 ỉ 5 Bài 4 Tìm n e N sao cho n3 - 8n2 2n ỉ n2 1 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SÔ Bài 1 13 33 53 73 13 73 33 53 8m 8N ỉ 23 Bài 2 362 60n 24 12n 3n 5 24 Ta thấy n và 3n 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ n 3n 5 ỉ 2 ĐPCM Bài 3 a. 5n 2 8 2n 1 5n 25 26 8 2n 1 5n 59 - 8 n 5n59 ỉ 59 b. 9 2n 14 9 2n - 1 15 81n - 1 .