tailieunhanh - Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT

Tham khảo tài liệu 'phương pháp 2: sử dụng tính chất chia hết', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Phương pháp 2 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT Chú ý Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n. CMR Gọi n là số nguyên liên tiếp m 1 m 2 . m n với m e Z n e N Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta được tập hợp số dư là 0 1 2 . n - 1 Nếu tồn tại 1 số dư là 0 giả sử m i nqi i 1 n m i n Nếu không tồn tại số dư là 0 không có số nguyên nào trong dãy chia hết cho n phải có ít nhất 2 số dư trùng nhau. Giả sử m i nqi r m j qjn r 1 i j n i - j n qi - qj n i - j n mà I i - j I n i - j 0 i j m i m j Vậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho 11. Ví dụ 1 CMR a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2. b. Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. Giải a. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn Số chẵn đó chia hết cho 2. Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2. Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 b. Trong 3 sô nguyên liên tiếp bao giơ cũng có 1 số chia hết cho 3. Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà 1 3 1. Vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6. Ví dụ 2 CMR Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9. Giải Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là n - 1 n n 1 Ta có A n - 1 3 n3 n 1 3 3n3 - 3n 18n 9n2 9 3 n - 1 n n 1 9 n2 1 18n Ta thấy n - 1 n n 1 3 CM Ví dụ 1 3 n - 1 n n 1 9 mà 9 n2 1 9 18n .9 A 9 ĐPCM Ví dụ 3 CMR n4 - 4n3 - 4n2 16n 384 với V n chẵn n 4 Giải Vì n chẵn n 4 ta đặt n 2k k 2 Ta có n4 - 4n3 - 4n2 16n 16k4 - 32k3 - 16k2 32k 16k k3 - 2k2 - k 2 16k k - 2 k - 1 k 1 Với k 2 nên k - 2 k - 1 k 1 k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4. k - 2 k - 1 k 1 k 8 Mà k - 2 k - 1 k 3 3 8 1 k - 2 k - 1 k 1 k 24 16 k - 2 k - 1 k 1 k 16 24 Vậy n4 - 4n3 - 4n2 16n 384 với V n chẵn n 4 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1 CMR a. n n 1 2n 1