tailieunhanh - BÀI TOÁN 2 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 + bx + c =0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x1 và x2 Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 theo S và P | BÀI TOÁN 2 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM I. PHƯƠNG PHÁP Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm X1 và x2 của phương trình ax2 bx c 0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị X1 và x2 Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm X1 và x2 theo S và P ví dụ 1 2 x 2 2 X1 2 S 2P 11 x x S 1 2 x1 x2 x1x2 P x3 x23 x1 x2 3 3x1x2 x1 x2 S3 3SP 1 1 x2 x22 S2 2P I T 2 _2 2 2 n2 x1 x2 x1 x2 P II. VÍ DỤ MINH HỌA VD1 Giả sử phương trình ax2 bx c 0 Có hai nghiệm Xỉ lập phương trình có nghiệm như sau a -x1 và -x2 b 2 x1 và 2 x2 c x2 và xị d Xj x2 và X1X2 1 .A 1 e va X1 X2 1 2 1 Giải Giả sử phương trình ax bx c 0 có hai nghiệm Xi x2 ta có s Xj x2 p xix2 ê ữ a Ta có -x1 -x2 -5 -x1 -x2 P nên -X1 và -x2 là các nghiệm của phương trình X2 - sx p 0 b Ta có 2xỉ 2x2 2S 2xp2x2 4P nên 2 Xi và 2 x2 là các nghiệm của phương trình X - 2SX 4P 0 c Ta có X 2 X22 S2-2P xỉ-xl P2 nên X2 và xỊ là các nghiệm của phương trình X2 - S2 - 2P X p2 0 d Ta có Xj x2 XjX2 s p x x2 W2 ọ nên X1 x2 và X1X2 là các nghiệm của phương trình X - S P X 0 e Ta có 1 1 5 ---1--- Xj x2 p 11 1 X1 x2 p nên và là các nghiệm của phương trình X2 - S -1 0 VD2 Giả sử phương trình xx - ax 1 0 có hai nghiệm Xỉ x2 a Hãy tính S7 x17 x7 b Tìm đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận a V3 Ví làm nghiệm. Giải Phương trình xx -ax 1 0 có hai nghiệm x1 x2 ta có S x x2 a P 1 a Ký hiệu Sk xk xk. Ta lần lượt có S2 22 x12 x2 2 2 x1 x2I - 2 x x2 a - 2 S3 x13 xj x x2 3 - 3x1 x2 x x2 a3 - 3a S _ v4 4 2 2 2 ỹ 2 S4 xi x2 I xi x - 2 xi x2 I a - 2 1 - 2 a - 4a 2 c V7 V7 f V4 V4 w V3 V3 V3 V3 í V V n1 7 y5 1 4 y3 7 y S7 xi x2 I xi x I xi x2 I - xi x21 xi x2 I a - I a 14a - 7 a a - la 14a - 7a 0 b Đặt x V3 x2 V4 Theo câu a thì với X x2 là nghiệm của phương trình x2 -ax 1 0 ta có xi x2 a 7a 14a 7 a a - 7 a 14a - 7 a - 7 0 Vậy đa thức cần tìm có dạng a7 - 7a5 14a3 - 7a - 7