tailieunhanh - Ứng dụng các định lý tam thức bậc hai giai hpt

ĐẠI SỐ - BÀI 18 SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VÈ TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2 Các định lý được sử dụng (với f (x) = ax + bx + c ; a ≠ 0) 2 1. af(x) 0 với mọi x ⇔ ∆ x = b − 4ac | Lớp học qua mạng ĐẠI SỐ - BÀI 18 SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VÈ TAM THỨC BẬC HAI ĐÉ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2 Các định lý được sử dụng với f x ax bx c a 0 2 1. af x 0 với mọi x Ax b - 4ac 0 . 2. af x 0 với mọi x Ax b2 - 4ac 0 . Nếu af x 0 với mọi x thì f x 0 A x 9 1 x - b 2a 3. Nếu tồn tại a sao cho af a 0 thì f x có 2 nghiệm xi x2 thỏa mãn xi a x2. 4. Nếu tồn tại a ß a ß sao cho f a .f ß 0 thì f x có một nghiệm thuộc a ß và một nghiệm ngoài a ß . Thí dụ 1 Chứng minh rằng Nếu a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì với mọi x ta có b2x2 b2 c2 -a2 x c2 0. 22 Phân tích Vế trái là tam thức bậc hai f x với hệ số của x là b 0 nên có ngay lời giải. Giải f x 0 với mọi x Ax 0 b2 c2 - a2 2 - 4b2c2 0 b2 c2 - a2 2bc b2 c2 - a2 - 2bc 0 b c 2 -a2 b -c 2 -a2 0 b c a b c - a b - c a b - c - a 0 a b c b c - a b a - c c a - b 0 Vì a b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Chú ý Ngược lại các bạn có thể chứng minh được nếu các số dương a b c thỏa mãn f x 0 với mọi x thì a b c chính là độ dài 3 cạnh của một tam giác. 3 Thí dụ 2 Cho a 36 và abc 1. Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục Môn Toán Lớp học qua mạng a2 .2 2 . . Chứng minh -3- b2 c2 ab bc ca 1 Phân tích bc nên bât đăng thức cân chứng minh vì đôi xứng với b và c nên có thể viết về dạng tam thức bậc hai đôi với b c. 2 a2 3 Giải b c 2 - a b c --- 0 3 a 2 I 2 . - 2 3 . _ 2 ._ .a a 3 1 a 1 a 36 b c 2 a b c - 0 I b c--- I 0 4 12 a 2 12a 3 Với a 36 thì bât đăng thức trên luôn đúng. Chú ý Khi không muôn diễn đạt bởi ngôn ngữ biệt thức A thì các bạn có thể dùng kỹ thuật tách bình phương như lời giải trên. Thí dụ 3 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có 3 cos A cos B cos C 7 2 A B Phân tích Vì cosA cosB 2 cos - 2 A-B c A-B 2C cos 2 2sin cos 2 và cosC 1 - 2sin nên có thể làm xuât C hiện tam thức bậc hai đôi với sin . Giải 2sin cos A 1 - 2sin2 2 2 2 2 2 2C c A-B 1 sin - sin cos 0 2 2 2 4 G. C 1 A - BỸ - B I sin - cos I sin - 0 2 2 2 4 2 .