tailieunhanh - BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Số tín chỉ: 2)

Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, vật lý, khoa học xã hội ta thường gặp các bài toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP). PTVP là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm của nó. - Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập thì ta có PTVP thường. - Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến. | Trường ĐHQN Khoa Toán BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Số tín chỉ 2 Dành cho sinh viên Hệ Khóa Năm học Giảng viên Khoa Hóa Tổng hợp 33 2011-2012 Nguyễn Thị Phương Lan - 1 - Chương I PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật vật lý khoa học xã hội ta thường gặp các bài toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân PTVP . PTVP là phương trình liên hệ giữa biến độc lập hàm cần tìm và các đạo hàm của nó. - Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập thì ta có PTVP thường. - Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến độc lập thì ta có phương trình đạo hàm riêng. - Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình đó. - Nghiệm của PTVP là mọi hàm thỏa mãn phương trình ấy. Trong học phần này ta chỉ xét đến PTVP thường còn gọi là PTVP . Ví dụ y 1 y 0 là PTVP cấp một y cos x là PTVP cấp hai. x du y d- 0 là phương trình đạo hàm riêng cấp một. dv - -2 0 là phương trình đạo hàm riêng cấp hai. dy Định nghĩa PTVP cấp một có dạng F x y y 0 1 Nếu giải được đối với y thì PTVP cấp một có dạng y f x y hay dx f x y P x y dx Q x y dy 0 du x -- dx d 2u dx2 4 2 dạng chuấn hoặc 3 dạng vi phân Ví dụ y 2yỵ dy ecosx xydx x2 y2 dy 0 là các PTVP cấp một. x dx v Nghiệm của PTVP cấp một là hàm thỏa mãn phương trình ấy. - Nghiệm tổng quát của PTVP cấp một là nghiệm có chứa một hằng số tùy ý. y j x C C const. Ví dụ hàm y Cx2 C const là nghiệm tổng quát của PT y 2 y Về mặt hình học nghiệm tổng quát xác định một họ đường cong gọi là họ đường tích phân. - Nghiệm riêng của PTVP cấp một là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn hằng số phù hợp. Chú ý - Đôi khi giải PTVP ta không tìm được nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh - 2 - y j x C C const mà được một hệ thức dạng F x y C 0 C const nó xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn. Hệ thức ấy được gọi là tích phân tổng quát. Hệ thức F x y C0 0 được gọi