tailieunhanh - Báo cáo nghiên cứu khoa học: "TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VỚI QUÁ TRÌNH DẠNG HERMITE"

Từ khái niệm về quá trình ngẫu nhiên Wiener kết hợp với các đa thức Hermite ta sẽ xây dựng được quá trình ngẫu nhiên dạng đặc biệt là chúng sẽ trở thành cơ sở trực giao của không gian các quá trình ngẫu vậy trong bài báo này đã tập trung nghiên cứu và nêu được các tính chất đặc thù của vi, tích phân Itô đối với các quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite đó. | TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH CN TẬP 11 SÓ 06 - 2008 TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VỚI QUÁ TRÌNH DẠNG HERMITE Dương Tôn Đảm Trường Đại học Công nghệ Thông tin ĐHQG - HCM Bài nhận ngày 20 tháng 01 năm 2008 hoàn chỉnh sửa chữa ngày 14 tháng 04 năm 2008 TÓM TẢT Từ khái niệm về quá trình ngẫu nhiên Wiener kết hợp với các đa thức Hermite ta sẽ xây dựng được quá trình ngẫu nhiên dạng đặc biệt là chúng sẽ trở thành cơ sở trực giao của không gian các quá trình ngẫu nhiên. Vì vậy trong bài báo này đã tập trung nghiên cứu và nêu được các tính chất đặc thù của vi tích phân Itô đối với các quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite đó. 1. MỞ ĐẦU Hàm ngẫu nhiên dạng đa thức Hermite đã được đề cập đến trong các tài liệu của 3 4 Oksendan 2 . . . Về mặt lý thuyết chúng có những tính chất lý thú và cũng có những ứng dụng quan trọng. Ta bắt đầu từ những khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên đó là vi và tích phân Itô của các quá trình ngẫu nhiên. NIỆM VỀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE Nghĩa Đa Thức Hermite bậc n là đa thức xác định bởi w -M -gexp-f 1211 0 1 2 . n 2t dx 2t -Theo định nghĩa trên ta có __ . x t H0 x t 1 H1 x t x H2 x t y-2 TT x3 x . x4 tx3 11 _ H3 x t ---- H4 x t ------- . 3 6 2 4 24 4 8 Nghĩa W. A . -A z A x . Cho 1 là quá trình Wiener tiêu chuân một chiều chuyên động Brown khi đó quá trình ngẫu nhiên H n xác định theo được gọi là quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. TT TAA a W3 tWt H3 W t --y Khái niệm vi tích phân ngẫu nhiên mà ta xét trong bài này là vi tích phân Itô nghĩa là nếu hầu chắc chắn ta có Trang 49 Science Technology Development Vol 11 - 2008 t t Xt X0 1 a s co ds 1 3 s ữ dWt 0 0 khi đó ta viết dXt a t cd dt 3 t cd dWt n 2 X Biểu thức được gọi là vi phân Itô của t hay ta còn gọi đơn giản là vi phân ngẫu X nhiên của t . lý Công thức Itô Cho Xt là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô dạng và x t là một hàm hai lần khả vi liên tục theo biến thứ nhất x một lần khả .