tailieunhanh - Tài liệu tham khảo – giải thích

1 .Mệnh đề : Gọi a. Nếu , ∈ (ℝ ) là tập hợp các hàm bậc thang xác định trên ℝ . (ℝ ) thì + , . ∈ ∈ (ℝ ) (ℝ ) thì ( ) ∈ , , }∈ (ℝ ) , , }∈ (ℝ ) b. Cho : ℝ → ℂ thỏa (0) = 0. Nếu c. Với , , , ∈ (ℝ ) ta có max{ , (ℝ ), min{ , Chứng minh: a .Nếu , ∈ (ℝ ) thì + , . ∈ (ℝ ) Theo giả thiết ta có thể biểu diễn , ( )=∑ + . =∑ = ∑ , ( )=∑ +∑ ∑ ∈ | Tài liệu tham khảo - giải tích thực - Lớp giải tích K19 Chương 1 1 .Mệnh đề Gọi .S F RRằ là tập hợp các hàm bậc thang xác định trên R. a. Nếu f g E SF Rk thì f g f. g E SF Rk b. Cho .p R c thỏa 0 0. Nếu f E .S F RR thì E .S F RR c. Với s2 . sn E SF Rk ta có max sn s2 . sn E FF Rk minfci s2 . sn E FF Rk Chứng minh a .Nếu f g E SF R thì f g f. g E FF Rk Theo giả thiết ta có thể biểu diễn f g dưới dạng chính tắc như sau to sg g x Và do đó f g HU XiXr SJ 1 PiXQj E SF Rk f-s SE1 S -1 Dm SEiS . E SF Rr b .Cho p R c thỏa v 0 0. Nếu f E FF Rk thì E FF Rk Với cách biểu diễn chính tắc của f ta dễ thấy rằng H i-1 1 ai Xpi E SF Rk c .Với Si s2 . sn E SF Rk ta có maxfSi s2 . .S E FF Rk min s1 s2 . sn E FF Rk Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n 2. Ta đã có sx s2 S-L s2 E FF Rk . Biểu diễn S-L s2 dưới dạng chính tắc Sỵ s2 ỊX ữịXQ. Và S1 s2 ỵ ai xQiESF Rk Ta được max sn s2 S1- S2 S1 S2 E FF Rk và min s1 s2 S1 S2 S1 S2 E FF Rk 2 .Mệnh đề Cho s t là hàm bậc thang trên Rk và cho a E c. Khi đó a. jRfc s at ÍRks aÍRkt b. Nếu s t thì fRks fRfct Chứng minh a .Chứng minh fak s at faks a fRk t Trước hết từ định nghĩa tích phân hàm bậc thang ta chứng minh được nếu .S 0 thì fKks 0 1 Giả sử s sỉli aiXp. Pí Pị 0 nếu í ĩ t St i PjXQj Qi Qj 0 nếu í j U 1 Pi u j i Qj có thể có một số ưj bằng 0 Đặt Rjj P Qị 1 i k 1 j m . Khi đó Pi Eỉ il í I Ọý S 1KI Vậy fRfc s at S ưj tổng trên các í 1 2 . k j 1 2 . m yfc X m d. I p. .1 -I- d vm vfe z .l p. .1 vfe vm f c-Lrvf f Li i A 1 nj Wjỳ a L 1 Li i Pj Kíj S i- ai Tj1 a L 1 Pj Qi1 Jj fc s a JRfc t b .Chứng minh nếu s t thì f. s fRkt Thật vậy nếu s t s t 0. Theo 1 ta có fIRk s t 0 JjRfc s Jjjfc t 0 JjRfc s Jjjfc Í 3 .Mệnh đề Cho f g TV c là hai hàm khả tích Lebesgue. Khi đó f g OT hkn và f ag a E c là các hàm khả tích Lebesgue và fak f ỡ ĩ f aJT 3 w -J- in Chứng minh Chứng minh f g OT hkn Giả sử ngược lại tức là tồn tại A có p A 0 sao cho f x OT v G A. Khi đó íKkf x dx fA f w Ta có mâu thuẫn. Vậy f OT hkn Chứng minh .