tailieunhanh - Kiểm tra cấu trúc ( G,* )

Bài 1: kiểm tra cấu trúc ( G,* ) có là nửa nhóm,vị nhóm hay nhóm không, và xét tính giao hoán của hợp ( G,*) là nhóm, hãy mô tả các phần tử có cấp hữu hạn của nhóm này. a) G=Q\{-6},x*y = 90xy+540x+540y+3234 = 90(x+6)(y+6)-6. • Tính kết hợp: (x*y) *z = (90(x+6)(y+6)-6) *z = 90(90(x+6)(y+6)-6+6)(z+6)-6 (1) = 902(x+6)(y+6)(z+6)-6 x*(y*z) = x*(90(y+6)(z+6)-6) = 90(x+6)( 90(y+6)(z+6)-6+6)-6 = 902(x+6)(y+6)(z+6)-6 (2) từ (1) và (2) suy ra ( G,* ) có tính kết hợp ( G,* ) là nửa nhóm. • Phần tử trung hòa của trên G: x*e=e*x=x . | Nhóm 1 Bài 1 kiểm tra cấu trúc G có là nửa nhóm vị nhóm hay nhóm không và xét tính giao hoán của hợp G là nhóm hãy mô tả các phần tử có cấp hữu hạn của nhóm này. a G Q -6 x y 90xy 540x 540y 3234 90 x 6 y 6 -6. Tính kết hợp x y z 90 x 6 y 6 -6 z 90 90 x 6 y 6 -6 6 z 6 -6 902 x 6 y 6 z 6 -6 1 x y z x 90 y 6 z 6 -6 90 x 6 90 y 6 z 6 -6 6 -6 902 x 6 y 6 z 6 -6 2 từ 1 và 2 suy ra G có tính kết hợp G là nửa nhóm. Phần tử trung hòa của trên G x e e x x 90 x 6 e 6 -6 90 e 6 x 6 -6 x 90 x 6 e 6 90 e 6 x 6 x 6 e -0-6e Q -6 90 G là nửa nhóm có phần tử trung trung hòa e 90 -6 e Q -6 suy ra G là vị nhóm. Phần tử x-1 của x x x-1 x-1 x e hay 90 x 6 x-1 6 -6 90 x-1 6 x 6 -6 90-6 x-1 . - 6 e Q -6 902 x 6 suy ra G là nhóm Do tính giao hoán của phép nhân trong Q ta có x y y x 90 x 6 y 6 -6 suy ra G là nhóm giao hoán. Cấp hữu hạn của phần tử x trong G Với k e N bằng quy nạp ta chứng minh được xk 90k-1 x 6 k - 6 90k-1 x 6 k - 6 - 6 90 90 x 6 k 1 90 x 6 1 hoặc 90 x 6 -1 vao k 2 do ke N xk e 1 x 90 - 6 e hoaec x -90 - 6 va0 caáp cuua x la0 2 Câu b cm tương tự. c G R x y xn yn 1 n trong đó n là số nguyên dương lẻ cho trước. Tính kết hợp x y z xn yn 1 n z xn yn zn 1 n x y z x yn zn 1 n - xn yn zn 1 n suy ra G có tính kết hợp nên G là nửa nhóm. Phần tử trung hòa của trên G x e e x x n n 1 n n n 1 n x e e x x xn en xn en 0 e 0 e R do n là số nguyên dương cho trước suy ra G là vị nhóm. Phần tử x-1 của x x x-1 x-1 x e hay xn x-n 1 n e x-n e- xn - xn x-1 -x suy ra G là nhóm Tính giao hoán n n 1 n n n 1 n x y x y y x y x vậy G là nhóm giao hoán nhóm abel Cấp hữu hạn của phần tử x trong G Với k e N bằng quy nạp ta chứng minh được xk 2 k-1 nx 0 Suy ra x 0 vậy G không có phần tử có cấp hữu hạn. Các câu d e cm tương tự. f G R x R x y z t x yz yt . Tính kết hợp x y z t p q x yz yt p q - x yz ytp ytq 1 x y z t p q x y z tp tq x y z tp ytq x yz ytp ytq 2 2 từ 1 và 2 suy ra G có tính kết hợp G là nửa nhóm. Phần tử trung hòa của trên G t e e t t với t x y e x0 y0 x y X0 y0 X0 y0 x y x y x .