tailieunhanh - Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev

Trong bài giảng “Hàm suy rộng và Không gian Sobolev” tôi có trình bày sơ qua về Không gian Sobolev. Trong cách trình bày đó, tôi đã sử dụng phép biến đổi Fourier như một công cụ chính nên mới chỉ dừng lại L^2. Tôi xin giới thiệu một cách trình bày Không gian Sobolev khác qua Đạo hàm suy rộng. Bài giảng này tôi đã trình bày tại Tổ Bộ môn Giải tích, Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HN | Lý thuyết Hàm suy rộng và Không gian Sobolev Đặng Anh Tuấn Hà Nội ngày 20- 11- 2005 Chương 1 Các không gian hàm cơ bản và không gian hàm suy rộng Một sô kiến thức bổ sung Một số ký hiệu N 1 2 . là tập các số tự nhiên Z 0 1 2 . là tập các số nguyên không âm R là tập các số thực C là tập các số phức. Đon vị ảo ỵ ĩ i. Với mỗi số tự nhiên n G N tập Z a a1 . ara ơj G Z j 1 . n tập Rn x x1 x2 . xn xj G R j 1 2 . là không gian thực n chiều với chuẩn Euclid n - w _ 1 llxll x2 2. j 1 Nếu không có gì đặc biệt ký hiệu Q là tập mở trong Rn. Với mỗi k G Z ký hiệu các tập như sau Ck Q u Q C u klia vi lien tục đến cấp k C Q C0 Q u Q C C Q u Q C u G Ck Q suppu là tập compact C0 Q C0 Q C Q k Ck Q Co Q k C Q trong đó supp u cl x G Q u x 0 . Với mỗi số thực 1 p TO ký hiệu Lp Q u Q JLc u x p to x 7 L Lebesgue 1 o với p TO ký hiệu L Q u Q - Cless sup u x to Lebesgue I xe 2 trong đó ess supxeQ u x inf M 0 m x G Q u x M 0 . Với 1 p TO ký hiệu Lpoc Q u - C u t Lp u với mọi tập con đo được u cc Q Lpc vact p u fy -L. C u t Lp Q m cc Q u x 0 . trong Q w cưmpuct X X Ị I X X cPXjy trong đó ư cc Q nghĩa là bao đóng cl u là tập compact trong Q. Với mỗi hàm u t C Q a a1 a2 . an E Z ký hiệu d ai Dau Da Da. Dau Dj d j 1 2 . Khi đó với u v E C Q a a1 a2 . an G Z có công thức Leibnitz Da uv f aWuDa v 3 a P fiYYHii t a 1 --- 1 Tn aj aj ---------- - J A 1 r fyVtnÍT 1 ổX7 t íiT 4 - - íd - 111 e n UOilg uv -1 I J I . Tũ la long lay UC11 lap vau Ua ulll Sv p t Z I Ỉ -Ẫ- -Ẫ- j 1 X i Ị X i Ị i 11 cv 11 -J CCJ J 1 I X M J 1 P X M j Mj it a j Mj _ . I j j j 3 a mà p a nghĩa là 0 Pj aj j 1 2 . n. Phân hoạch đơn vị ĐỊnh nghĩa . Cho Q là một tập trong Rn. Một họ đếm được các cặp Qj Pj J 1 trong đó Qj là tập mở trong Rn pj là hàm thuộc lớp các hàm khả vi vô hạn trên Rn được gọi là một phân hoạch đơn vị của tập Q nếu các tính chất sau được thoả mãn i Qj j 1 lù một phu mở của Q Q c U 1Qj Qj là tập mở ii 0 Pj x 1 Vx G Q j 1 2 . iii Pj G C0 Rn supp Pj c Qj j 1 2 . iv E 1 Vj x 1 Vx G Q. Ta còn