tailieunhanh - Tìm hiểu toán cao cấp phần 10

Theo tiêu chuẩn cãn Cauchy ta có chuỗi phân kỳ (với mọi x). Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là tập hợp rỗng. 2. Hội tụ ðều Ðịnh nghĩa: Xét x biến thiên trong một tập X nào ðó nằm trong miền hội tụ của chuỗi hàm. | GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 1 N --------- li. ---------------------------------- -1 2 M 1 2x Với mỗi x chuỗi số -1 1 có có số hạng tổng quát 1 x với lim ị À lim - 1 . Theo tiêu chuẩn cãn Cauchy ta có chuỗi phân kỳ với mọi x . Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là tập hợp rỗng. L2. Hội tụ đều Định nghĩa Xét x biến thiên trong một tập X nào đó nằm trong miền hội tụ của chuỗi hàm Ệ x Ẳ . -1 . Gọi S x là tổng của chuỗi hàm và Sn x là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm. Nếu với mọi 8 0 tồn tại n0 s sao cho V n n0 8 V x e X Sn x S x 8 thì ta nói chuỗi hàm hội tụ Lều tới hàm S x trên tập X hoặc dãy hàm Sn x hội tụ đều tới hàm S x trên tập X. Điều này cũng có nghĩa là dãy các phần du Rn x S x -Sn x hội tụ đều tới 0 trên X. Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự hội tụ cũng nhu hội tụ đều của chuỗi hàm. Định lý tiêu chuẩn Weierstrass . ._. . Nếu ứng với mọi n lớn hơn một n0 nào đó và với mọi x e X và chuỗi số CO LO ỉí V f x duơng 1 hội tụ thì chuỗi hàm 1 hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối trên X. JVí dụ 1 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm Sưu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 V- sin x 2-i 1 . 2 íí 1 1 K Ta có sm ftjc 1 d . .2 - I 1 H n Z1 stnỌỉ x 1 1 H2 ứng với mọi x e R và do chuỗi 1 hội tụ nên chuỗi hàm 1 hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối trên toàn trục số theo tiêu chuẩn Weierstrass. 2 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm lní 2-1 2 2 JJ Tỉ x Iíi tĩ lim 0 Do n- 0 ifM nên tồn tại n0 sao cho với mọi n n0 thì InỢĩ 1 Suy ra với mọi n n0 và với mọi số thực x ta có Iíi tĩ 1 Jn 1 ý _1 1 7 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 y 3 2j mà chuỗi số điều hòa mở rộng n n hội tụ. Vậy theo tiêu chuẩn Weierstrass Iný I Tỉ2 I X2 chuỗi hàm hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối trên toàn trục số. J3. Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều Trong mục nầy sẽ phát biểu một số định lý về tính chất của các chuỗi hàm hội tụ đều. Định lý Tính liên tục của hàm tổng Sưu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 co . xco. . .A .X _ Nếu mọi hàm liên tục trên X và chuỗi hàm 1 hội tụ đều đến hàm S x trên X thì S x cũng liên tục .