tailieunhanh - Giáo trình Toán học phần 10

Định lý Cho các ẩn m g, h ∈ C1([0, 2π], 3) thoả m n g(0) = g(2π), h(0) = h(2π). Chuỗi h m () với các hệ số ak , bk , ck v dk xác định từ hệ ph−ơng trình () l nghiệm duy nhất v ổn định của b i toán DE1b. | Chương 8. Phương Trình Truyền Nhiệt 0 b0lnp 2- 2jg 0 de a0 b0lnR - J h e de 2n 0 akpk bkp-k 12J g e cos kede n 0 akRk bkR-k 1 J h e cos kede n 0 ckpk dkp-k 12J g e sin kede n 0 ckRk dkR-k 1 J h e sin kede n 0 Đỉnh lý Cho các hàm g h e C1 0 2n 3 thoả mãn g 0 g 2n h 0 h 2n . Chuỗi hàm với các hệ số ak bk ck và dk xác định từ hệ phương trình là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1b. Đ7. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhạt Bài toán DE2a Cho miền D 0 l X 0 d và hàm ga e C 0 l 3 Tìm hàm u e C D 3 thoả mãn phương trình Laplace Au 2u 2u 0 với x y e D0 3x2 3y2 và điều kiện biên u x 0 ga x u x d u 0 y u l y 0 Tìm nghiệm của bài toán DE2a dạng tách biến u x y X x Y y Thay vào phương trình đưa về hệ phương trình vi phân X x ÀX x 0 Y y - ÀY y 0 X 0 X l Y d 0 với À e 3 Bài toán có họ nghiệm riêng độc lạp Xk x AkSin y x Yk y BkSh y - d - y Àk Y với k e z Suy ra có họ nghiệm riêng độc lạp của bài toán DE2a . z _ I- kn I _ kn I. _ uk x y ak sh l d -y sin l x với ak AkBk e 3 k e z Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE2a dạng chuỗi hàm Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 147 Chương 8. Phương Trình Truyền Nhiệt 5 5 kn kn u x y Xuk x y Xaksh d-y sin px k 1 k 1 1 1 Thế vào điều kiện biên cn knd krc u x 0 X sin x ga x k 1 1 1 Nếu hàm ga có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên đoạn 0 1 thì 2 f z X . kn ak ---r-rl ga x si xdx knd Jo 1 1sh 0 1 Đinh lý Cho hàm ga e C1 0 1 3 thoả mãn ga 0 ga 1 0. Chuỗi hàm với hệ số ak tính theo công thức 1à nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE2a. Lập 1uận tương tự như trên chúng ta giải các bài toán sau đây. Bài toán DE2b Cho miền D 0 1 X 0 d và hàm gb e C 0 d 3 . Tìm hàm u e C D 3 thoả mãn phương trình Lap1ace Au 0 với x y e D0 và điều kiện biên u 1 y gb y u x d u 0 y u x 0 0 Đinh lý Cho hàm gb e C1 0 d 3 thoả mãn gb 0 gb d 0. Bài toán DE2b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức 5 kn kn 2 u x y X bksh x sin y với bk k d d kn1 k 1 dsh- 0 d d .