tailieunhanh - Giáo trình Toán học phần 6

Biến Đổi Fourier V Biến Đổi Laplace || f∗hλ - f ||1 = ≤ +∞ −∞ ∫ | (f ∗h +∞ +∞ λ )(x) − f (x) | dx = +∞ +∞ −∞ −∞ ∫ ∫ (f (x − y) − f (x))h λ λ (y)dy dx | Chương 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace . . . f hx - f 1 J l f hẤ x - f x ldx J J f x - y - f x hẤ y dydx -. -. -. J J lf x - y - f x ldxh Ấ y dy g M O Suy ra từ tính chất 4. của bổ đề 2. I g 0 0 I Đ3. Biến đổi Fourier Cho các hàm f F L1 kí hiệu V o 3 Jf t e-iratdt -. 1 . V t 3 F t JF rn eitrado -. Ngoài ra hàm f và hàm g gọi là bằng nhau hầu khắp nơi trên 3 nếu J lf x - g x ldx 0 Đỉnh lý Với các kí hiệu như trên 1. V f L1 C0 n L1 và . f 1 2. V F L1 F C0 n L1 và ì . f 1 I ì 3. Nếu f F thì F f Chứng minh 1. Theo giả thiết hàm f khả tích tuyệt đối và ta có V o t 32 f t e-imt f t Suy ra tích phân bị chặn đều. Do hàm f t e-imt liên tục nên hàm f o liên tục. Biến đổi tích phân . -io t n f o I f t e o dt . - J f t -- et L o -. dt -. Cộng hai vế với công thức suy ra . 2 f ra Jlf t -f t- le ldt f - f 1 _ 0 -ỉ -. co Do ánh xạ o liên tục theo chuẩn theo bổ đề 1. Ngoài ra ta có Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 83 Chương 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace . - f ỊỊ suPr f m suPr JIf t II e 1 Idt f 1 2. Kí hiệu F- t F - t với t e 3. Biến đổi công thức F t -1 ÍF -Ơ e itơdơ -U t với ơ -m 2n í 2n Do hàm F e L1 nên hàm F e L1 và kết quả được suy ra từ tính chất 1. của định lý. 3. Theo tính chất 3. của bổ đề 2 và tính chất của tích phân bị chặn đều f hẤ t -1 Jf m H Àm eitradm -L jF m H Àm eitradm F t 2n J 2n J Mặt khác theo tính chất 5. của theo bổ đề 2 f hÀ - f 1 0 Do tính chất của sự hội tụ theo chuẩn V t 3 f hx t . f t Do tính duy nhất của giới hạn suy ra h-k n Cặp ánh xạ F L1 C0 f a f và F1 L1 C0 F a F xác định theo cặp công thức và gọi là cặp biến đổi Fourier thuận nghịch. Do tính chất 3. của định lý sau này chúng ta lấy F f và đổng nhất f F. Hàm f gọi là hàm gốc hàm F gọi là hàm ảnh và kí hiệu là f o F. Ví dụ 1. f t e-atn t o f m Jn t e a im tdt với Re a 0 a im f t e-ÀItI À 0 o m J e À im tdt P 0 e - - dt _L_ _ 2À À im À im À2 m2 2. ỗ t o u m J ỗ t e imtdt 1 và u t í ỗ m eitmdm 1 o F m 2nỗ m 3. f t 1 111 T k