tailieunhanh - Giáo trình Toán học phần 5

Chuỗi Hàm Phức V Thặng D− Với mọi ζ ∈ Γ2 : | ζ - a | = R, ta có q = | z - a | / | ζ - a | | Chương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng Dư Với mọi z e r2 z - a R ta có q z - a z - a 1 suy ra khai triển 1 1 1 y 1 f z - a nvà f Z y f Z f z - a n z - z z - a 1 z - a n 0 z- a L z - a J z - z n 0 z- a L z - a J 1 Z-a Do hàm f liên tục trên D nên có module bị chặn suy ra chuỗi 2 hội tụ đều trên r1 và chuỗi 3 hội tụ đều trên r2. Ngoài ra theo định lý Cauchy ÍtM Í Z- a n f Z Z - a n dZ f r2 f Z Z- a n dZ dZ f r Tích phân từng từ công thức 1 suy ra công thức I Người ta thường viết chuỗi Laurent dưới dạng y cn z - a n y -y y cn z - a n n v 7 7 n n v 7 ỵ - n 1 z - a n 0 Phần luỹ thừa dương gọi là phần đều phần luỹ thừa âm gọi là phần chính. Nếu hàm f giải tích trong cả hình tròn B a R thì V n 1 c-n 0. Khi đó chuỗi Laurent trở thành chuỗi Taylor Ví dụ 1 1. Khai triển hàm f z f z - 21 z _ _ _ trên miền D 1 z 2 z - 1 z - 2 till 1 1 z1 1 - 1 . zn . - 2 2n 1 . z 2 -L . z z 2. Khai triển hàm f z sin thành chuỗi tâm tại a 1 z -1 f z sinicos cosisin z -1 z -1 . 1 _ 1 11 . 1 z -1 z -1 3 z -1 3 à 1 1 _ 1 _ 1 cos 1 z -1 2 z -1 2 . Đ6. Phân loại điểm bất thường Điểm a gọi là điểm bất thường nếu hàm f không giải tích tại a. Nếu 3 e 0 sao cho hàm f giải tích trong B a e - a thì điểm a gọi là điểm bất thường cô lập. Có thể phân loại các điểm bất thường cô lập như sau. Nếu limf z L thì điểm a gọi là bất thường z a Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 67 Chương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng Dư bỏ qua được. Nếu limf z ra thì điểm a gọi là cực điểm. Nêu lim f z không tổn tại thì z a z a điểm a gọi là bất thường cốt yếu. Giả sử trong lân cân điểm a bất thuờng cô lập hàm f có khai triển Laurent ra c f z Ét É c. z - a n 1 z a q_0 Đinh lý Kí hiệu m a min n e 9 cn 0 1. Điểm a là bất thường bỏ qua đuợc khi và chỉ khi m a 0 2. Điểm a là cực điểm cấp m khi và chỉ khi m a 0 3. Điểm a là bất thường cốt yêu khi và chỉ khi m a -ra Chứng minh -ra 1. m a m 0 f z É cn z a n z a c0 L n 0 Ngược lại hàm g z z 0 z _ 0 giải tích trong B a e . Khai triển Taylor tại điểm a -ra g z Écn z a n với