tailieunhanh - Chương 5: Phép tính vi phân

Tài liệu về phép tính vi phân. | Chương 5 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Tích phân hàm một biến Nguyên hàm và tích phân bất định 1. Định nghĩa Định nghĩa . Cho hàm f xác đinh trên khoảng a b . Hàm F x xác đinh trên a b gọi là một nguyên hàm của hàm f x nếu F0 x f x với mọi x 2 a b . Ta thấy rằng F x là một nguyên hàm của f x thì F x C trong đó C là hằng số tùy ý cũng là một nguyên hàm của f x . Định lý . Nếu F x lầ một nguyên hầm của f x thì mọi nguyên hầm của f x đều có dạng F x C trong đó C lầ hằng số. Định nghĩa . Cho hàm y f x xác đinh trên a b . Ta gọi tích phân không xác đinh của f x kí hiệu f f x dx là tập tất cả các nguyên hàm của f x Đinh lý suy ra nếu F x là một nguyên hàm của f x thì J f x dx F x C trong đó C là hằng số tùy ý. Trong kí hiệu f f x dx ta gọi f x là hàm dưới dấu tích phân f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân. Đe tính tích phân không xác đinh theo đinh nghĩa ta chỉ cần tìm một nguyên hàm của nó. 2. Tính chất Tính chất . f f x dx 0 f x dự f x dx f x Tính chất . f dF x F x C Tính chất . J f x g x dx f x dx f g x dx. Tính chất . f f x dx a J f x dx 3. Phương pháp tính Tính trực tiếp Sử dụng các tính chất và bảng nguyên hàm. x2 1 2 . 1 Ví dụ . f 2 1 dx f 1----2 1 dx x 2arctgx C http 47 Phương pháp đổi biến Công thức 1. Tính J f f x dx Đặt x g t vớig t là hàm số liên tục và có hàm số ngược. Khi đó J f f g t .g0 t dt Chú ý Sau khi tính tích phân xong phải trả lại biến. dx Ví dụ . Tính I ỉ p J Va2 - x2 Đặt x at dx adt Khi đó I í arcsint C Vậy I arcsin C C const J - - a2t2 y a 7 Công thức 2. Tính J f f x dx Đặt t x khi đó f x dx g x 0 x dx. Khi đó nếu ta biết J g t dt G t C thì f f x dx f g x . 0 x dx J g t dt G t C G x C. Vídụ . Tính I1 í x Đặt u x2 1 thì du 2xdx Tacó I1 2 U D 1 u larctgl xdx x2 1 2 4 C Vậy I1 arc x2 1 C. 22 Ví dụ . Tính I2 f Đặt Vx2 1 x t dx x2 x 1 _ 1 -t2 2t dx - 2. dt CĨ TĨ 2-st- t Ta có I2 1 22 1 dt . . I _- I ĨGĨdt _ĩ ị _ ln t C Vậy I - In px2 1 - x C. 2 t 11 1 t2 2t Phương pháp tính tích phân từng .