tailieunhanh - Báo cáo nghiên cứu khoa học: "MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIỂU"

Trong [4], chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại của một loại nghiệm yếu cho phương trình tập mức mặt cực tiểu. Loại nghiệm này nhận được từ giới hạn của một dãy nghiệm cổ điển của phương trình xấp xỉ tương ứng. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản của loại nghiệm yếu này. | MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM YẾU CUA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIÊU SOME PROPERTIES OF WEAK SOLUTIONS OF LEVEL SET MINIMAL SURFACE EQUATIONS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nang TÓM TẮT Trong 4 chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại của một loại nghiệm yếu cho phương trình tập mức mặt cực tiểu. Loại nghiệm này nhận được từ giới hạn của một dãy nghiệm cổ _điển của phương trình xấp xỉ tương ứng. Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản của loại nghiệm yếu này. ABSTRACT In 4 we have proved that there exists a weak solution for level set minimal surface equations. This kind of solution has been obtained as a limit of a sequence of classical solutions of the correspondent approximate equations. In this paper we will give some properties of the weak solutions. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Xét phương trình tập mức mặt cực tiểu 4 với điều kiện biên ux ux ì x x . Ivu ý Ux xJ 0 trong 1 k u x u0 x với mọi x eổQ. 2 Trong đó là một miền trong Rn với biên trơn f -- . Trong 4 chúng tôi đã chứng minh được rằng tồn tại một nghiệm yếu cho phương trình 1 với điều kiện biên 2 . Nghiệm này biểu diễn mặt cực tiểu S dưới dạng một tập mức không của nó với biên r được cho trên f -- bởi một hàm trơn u 0. Trước khi nêu ra một vài tính chất của nghiệm yếu chúng ta nhắc lại các định nghĩa về nghiệm yếu 4 . ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM YẾU Ta ký hiệu C Q u R u liên tục trên . Định nghĩa Một nghiệm yếu dưới của phương trình 1 là một hàm u e C sao cho Với mỗi G C hàm u đạt cực đại địa phương tại một điểm x0 thì f_ x0MXj xc i b J t xx x 0 và khi V x0 0 - -77j Xj x 0 7 e Rn 17 1 khi Vộ x0 0. Định nghĩa Một nghiệm yếu trên của phương trình 1 là một hàm u e C sao cho Với mỗi e C hàm u đạt cực tiểu địa phương tại một điểm x e thì t .x x .x x ì VỘ x0 f J ệx x 0 xixj k I yv khi V x0 0 và - ôij -77j Xj x 0 t 7 e Rn 17 1 khi V x0 0. Định nghĩa Một nghiệm yếu của phương trình 1 là một hàm ue C sao cho u vừa là nghiệm yếu dưới vừa là nghiệm yếu trên của phương trình 1 . 2. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN Định