tailieunhanh - Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

1. Vectơ trong không gian Khái niệm vectơ trong không gian và những phép toán trên nó đều được định nghĩa hoàn toàn giống như lớp 10. Đó là những khái niệm : vectơ, các vectơ cùng phương, các vectơ cùng hướng, độ dài vectơ, vectơ bằng nhau, phép cộng phép trừ vectơ và các tính chất, phép nhân vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của chúng. Dưới đây, chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ áp dụng vào vectơ trong không gian. 2. Các ví dụ Ví dụ 1 | Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian 1. Vectơ trong không gian Khái niệm vectơ trong không gian và những phép toán trên nó đều được định nghĩa hoàn toàn giống như lớp 10. Đó là những khái niệm vectơ các vectơ cùng phương các vectơ cùng hướng độ dài vectơ vectơ bằng nhau phép cộng phép trừ vectơ và các tính chất phép nhân vectơ với một số tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của chúng. Dưới đây chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ áp dụng vào vectơ trong không gian. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây a b Với . Giải Nếu gọi lần lượt là trung điểm của hai cạnh thì Ta có là trung điểm của đoạn hay là trọng tâm của tứ diện b Với . Bởi vậy .Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc. Giải Trước hết ta chứng minh rằng với 4 điểm bất kì trong không gian ta đều có 1 Thật vậy Cộng ba đẳng thức trên ta được đẳng thức 1 . Bây giờ ta giả sử tứ diện có theo 1 Ví dụ 3. Cho hình lập phương lần lượt là trung điểm của hai cạnh . a Chứng minh rằng b Tìm của góc hợp bởi hai đường thẳng Giải gọi là cạnh của hình lập phương a Ta có .Vậy Với chú ý rằng hai vectơ vuông góc với nhau có tích vô hướng bằng 0 nên Như vậy b Gọi là góc hợp bởi và . Ta có 1 Mặt khác ta có Nên Mặt khác ngoài ra ta có Thay vào 1 ta có 3. Vectơ đồng phẳng Định nghĩa Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng Trên hình 24 các đường thẳng chứa 3 vectơ đều song song với mặt phẳng nên ba vectơ này đồng phẳng. Từ định nghĩa đó ta suy ra nếu ta .