tailieunhanh - Báo cáo nghiên cứu khoa học: "VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI PARABOLIC"

Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục đã được khảo sát bởi M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] trong khuôn khổ các nguyên lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh và đưa ra tính duy nhất của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại parabolic suy biến tổng quát. . | VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI PARABOLIC ON THE UNIQUENESS OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER PARABOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nang TÓM TẮT Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục đã được khảo sát bởi M. G. Crandall H. Ishii P. L. Lions 1 R. Jensen 3 trong khuôn khổ các nguyên lý so sánh các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh và đưa ra tính duy nhất của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại parabolic suy biến tổng quát. ABSTRACT The theory of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second order has been considered by M. G. Crandall H. Ishii P. L. Lions 1 R. Jensen 3 which provides a framework in comparison principles uniqueness theorems and existence theorems. This paper deals with a comparison principle and provides a uniqueness property of a viscosity solution to general degenerate parabolic partial differential equations of second order. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Khái niệm nghiệm nhớt được áp dụng cho các phương trình đạo hàm riêng có dạng F x u Du D2 u 0 trong đó F Rn X R X Rn X S n R với S n là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông đối xứng cấp n. Trong thực tế ta thường xem xét hàm số F x u Du D2 u 0 với u là một hàm số giá trị thực xác định trong một tập con Q của Rn Du là ký hiệu gradient của u và D 2u ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai của u. Tuy nhiên trong khuôn khổ của bài toán sau đây Du và D2 u không còn theo nghĩa cổ điển tức là u không đòi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai. Ta sẽ áp dụng lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình F 0 trong đó F phải thỏa mãn điều kiện đơn điệu monotonicity condition F x r p X F x s p Y với r s và Y X trong đó r s G R x p G Rn X Y G S n và trên S n đã trang bị thứ tự thông thường của nó. Lưu ý rằng điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện F x