tailieunhanh - Báo cáo nghiên cứu khoa học: "SỰ TỒN TẠI MỘT NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIỂU"

Bài báo này đưa ra một phương pháp tập mức để mô phỏng một phương trình của mặt cực tiểu. Dựa trên khuôn khổ nghiệm yếu của phương trình tập mức mặt cực tiểu, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại của một loại nghiệm yếu cho phương trình. | SỰ TỒN TẠI MỘT NGHIÊM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC Mặt cực tiểu EXISTENCE OF A WEAK SOLUTION OF LEVEL SET MINIMAL SURFACE EQUATIONS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nang TÓM TẮT Bài báo này đưa ra một phương pháp tập mức để mô phỏng một phương trình của mặt cực tiểu. Dựa trên khuôn khổ nghiệm yếu của phương trình tập mức mặt cực tiểu chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại của một loại nghiệm yếu cho phương trình. Nghiệm này nhận được như là giới hạn của một dãy nghiệm cổ điển của các phương trình xấp xỉ tương ứng. Nghiệm biểu diễn mặt cực tiểu dưới dạng một tập mức không của nó. ABSTRACT This paper aims to provide a level set method for simulation of an equation which describes the minimal surfaces. The main focus is set in the framework based on weak solutions of level set minimal surface equations. We prove that there exists a weak solution of the equation. The solution will be obtained as a limit of a sequence of classical solutions to the correspondent aproximation equations. It describes the minimal surface as its zero level set. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Ta nghiên cứu nghiệm yếu của một phương trình mặt cực tiểu trong hình trụ Q x x xn x efl xn e R trong đó Q là một miền trơn bị chặn trong Rn 1 n 2 . Cho S là một mặt n-1 - chiều trong Rn với biên trơn r G ỔQ . Ta biểu diễn mặt S dưới dạng một tập mức không của một hàm n biến u nào đó. Cụ thể ta xác định một phương trình cho hàm u u x u x1 . xn chứa S dưới dạng một tập mức không của nó. Bài toán xây dựng mặt cực tiểu S có biên r được đưa về bài toán tìm một hàm u với dữ kiện biên được cho trên r sao cho S là một tập mức không của u. Ta gán giá trị biên cho u bằng cách chọn một hàm trơn u0 TQ R sao cho r x e ỔQ u0 x 0 . Như ta đã đề cập mặt S được biểu diễn dưới dạng một tập mức không của u. Tức là S x e Rn u x 0 Vì S là một tập mức không của u nên pháp vectơ đơn vị trong của S là Vu Ư I v và độ cong trung bình của S được cho bởi H div u div t L vu Vì vậy ta thu được phương trình mặt cực tiểu cho u với S là