tailieunhanh - Phương pháp thay đổi biến số

Tài liệu tham khảo Phương pháp thay đổi biến số | Nguyễn Mạnh Dũng 11A2 Toán ĐHKHTN-ĐHQGHN. Email nguyendunghus@ Một phương pháp thay đổi biến số Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu với các bạn một phép thế khác trong trường hợp 3 số yz zx xy a b c có tích bằng 1 đó là đặt a ỵ b c với a b c dương thì x y z cũng dương. Tư tưởng chủ đạo của phép thế này là xuất hiện đại lượng bình phương ở tử phân thức sau đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ở dạng Svác A2 B2 C2 A B C 2 - - - A B C X Y Z 0 X Y Z X Y Z Một số kí hiệu dùng trong bài viết tổng đối xứng. Ví dụ a2b a2b b2c c2a ab2 bcc caa sym sym _ a b c d tổng hoán vị. Ví dụ a2b a2b b2c c2a a2c a2c ac2 b2d bd2 cyc cyc cyc Các bạn hãy theo dõi một số ví dụ minh họa. Ví dụ 1 Cho a b c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 2 Giải. Các bạn có thể đặt a x b c nhưng bất đẳng thức mới không dễ dàng y z x yz zx chứng minh được Xét phép đổi biến a y b 2 dương. Khi đó bất đẳng thức trên trở thành .4 .4 x y xy c y với x y z là các số thực y z x 4 z 1 x2 yz 2 x2 yz y2 zx 2y2 zx z z xy 2z2 xy 2 Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có x4 x y 2 z 2 En-------T7T3------ r 2---------------Ã cyc x2 yz 2x2 yz x2 yz 2x2 yz cyc Ta có 2 2 2 2 í 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z - X x yz 2x yz xy yz zx -xyz x y z cyc 1 2 2 2 x y - z y z - x z x - y 0 Bất đẳng thức trên luôn đúng suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1 Û a b c 1 Ví dụ 2 Cho a b c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng 1 1 1 2 ----T Võ T V T 1 a a 1 b b 1 b b 1 Giải. . yz zx xy X. Đặt a . b c -2 với x y z là các sô thực dương bât đang thức trên trở thành 4 .4 _4 x y z --7---7----7 7 I-------7-----7 7 I--------7-----7 .22 .2 2 .22 x x yz y z y y zx z x z z xy x y Sử dụng bất đẳng thức Svác 1 y x 4 _ x2 y 2 z 2 _ cyc x4 x2yz y2 z2 x4 y4 z4 x2 y2 y2 z1 zzx2 xyz x y z Vậy ta chỉ cần chứng minh 0 0 2 .1 4 4 0 0 0 0 0 0 í X x y z x y z xy y z zx xyz x y z x2y2 y2z2 z2x2 xyz x y z - x2 y - z 2 y2 z - x 2 z2 x - y