tailieunhanh - MÔĐUN

Định nghĩa Môđun A là một vành có đơn vị 1A ≠ 0A, (M,+) là một nhóm aben Nhóm aben M cùng với ax: ()AMMa,xax×⎯⎯→|⎯⎯→ đgl A–môđun trái (hay môđun trái trên vành A) nếu: (i) a(x + y) = ax + ay (ii) (a + b)x = ax + bx (iii) (ab)x = a(bx) (iv) 1Ax = x ∀a,b∈A, ∀x,y∈M Lưu ý: a0M = 0M , 0Ax = 0M (–a)x = a(–x) = –ax ∀a∈A, ∀x∈M | MÔĐUN Đinh nghĩa Môđun A là một vành có đơn vị 1A 0A M là một nhóm aben Nhóm aben M cùng với ax A X M------ M a x ---- ax đgl A-môđun trái hay môđun trái trên vành A nếu i a x y ax ay ii a b x ax bx iii ab x a bx iv 1Ax x Va beA Vx yeM Lưu ý aƠM 0m 0ax 0m -a x a -x -ax Vae A VxeM Môđun con H là môđun con của A-môđun M H 0 H G M x y e H Vx y e H ax e H Va e A Vx e H H 0 H G M ax by e H Va b e A Vx y e H H 0 H G M x ry e H Vr e A Vx y e H Môđun con sinh bởi X Môđun con H của A-môđun M sinh bởi X H la môđun con cua M X G H H nhỏ nhất chứa X VY o X Y o H Môđun thương H là môđun con của A-môđun M MH x HI x e m với 2 phép toán x H y H x y H a x H ax H Va e A Vx y e H là một A-môđun A-môđun Mh đgl môđun thương của A-môđun M Đồng cấu Môđun M N là các A-môđun h M ax N h đgl đồng cấu môđun íh x y h x h y 5. Va e A Vx y e M h ax ah x Đồng cấu h ax by ah x bh y đơn anh đgl đơn cấu phép nhung tồấn anh đgl toan cấu song anh đgl đang cấu Hạt nhân và ảnh của đồng cấu môđun Kérh x e M h x 0n h-1 0n Imh h x x em h M Tính chất của đồng cấu môđun H la mồđun con cua M h H la mồđun con cua N a . . _ .-1 . _ K la mođun con cua N h K la mođun con cua M b h đơn cấu Kérh 0m h toan cấu Imh N Đinh lí đồng cấu môđun Cho p M .c A chính tac H x ------- x x H h M đong c mođun N s c H cKérh Khi đó 1 3 h MH đong cấu mođun N s c hop h nếu H Kérh thì h đơn cấu 2 Im h Imh và Kérh KérhH Đặc biệt Kerh--- Imh thì h đăng cấu. Khi đó Kerh s Imh Nếu h M- N là toàn cấu thì MKerh s N X s Y. A s Y Lưu ý Để cm ta cm các bước sau B1 f X------- Y là ánh xạ B2 f là toàn cấu B3 Kerf A Cấu trúc trên tập hợp những đồng cấu 1 HomA M N là tập hợp tất cả các đồng cấu A-môđun từ M vào N. a f g e HomA M N ta có f g M-- N x ---- f g x f x g x và cf M-------- N vc e Z A c e A ca ac Va e a x ---- cf x cf x là những đồng cấu môđun b HomA M N cùng phép cộng f g a f g xác định bởi a là một nhóm aben. c Nếu K là vành giao hoán M và N là hai K-môđun thì HomK M N cùng phép cộng và phép nhân với vô hướng a là 1 K-môđun. 2 EndA M là