tailieunhanh - Giải bài tập định thức

Đại số tuyến tính - Giải bài tập định thức | ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS. TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 11 năm 2004 Bài 3 Giải Bài Tập Định Thức 1. Tính a h h Y Y a h trong đó a h Y là các nghiệm của phương trình x3 px q 0 Y a Giải Theo định lí Viet ta có a h Y 0 Cộng cột 1 cột 2 vào cột 3 ta có hy a h a h Y a h 0 h Y a h Y a h Y hy 0 0 Y a h Y a a h Y Y a 0 2. Giải phương trình 1 x x2 x3 1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 Giải 1 Khai triển định thức vế trái theo dòng đầu ta sẽ có vế trái là một đa thức bậc 3 của x kí hiệu là f x . Ta có f 2 0 vì khi đó định thức ở vế trái có 2 dòng đầu bằng nhau. Tương tự f 3 0 f 4 0. Vì f x là đa thức bậc 3 có 3 nghiệm là 2 3 4 nên phương trình trên có nghiệm là 2 3 4. 3. Chứng minh 1 b1 2 2 3 3 bi C1 b2 C2 b3 C3 C1 1 C2 2 c3 3 0 Giải Nhân cột 2 với -1 cột 3 với 1 rồi cộng vào cột 1 ta có VT 1 2 1 b1 C1 C1 1 1 b1 c1 c1 1 2 2 b2 C2 C2 2 2 2 b2 C2 C2 2 2 3 b3 C3 C3 3 3 b3 C3 C3 - 3 1 b1 c1 c1 y 1 b1 C1 2 2 b2 C2 C2 2 2 b2 c2 3 b3 C3 C3 3 b3 C3 Giải thích 1 nhân cột 1 với -1 cộng vào cột 3 2 nhân cột 3 với -1 cộng vào cột 2 4. Chứng minh 2 1 2 2 2 3 2 b2 b 1 2 b 2 2 b 3 2 c2 c 1 2 c 2 2 c 3 2 d2 d 1 2 d 2 2 d 3 2 0 Giải 2 1 2 2 3 6 9 1 b2 b 1 2 2b 3 6b 9 2 VT c2 c 1 2 2c 3 6c 9 0 d2 d 1 2 2d 3 6d 9 Giải thích 1 Nhân cột 1 với -1 cộng vào cột 4 nhân cột 2 với -1 cộng vào cột 3 2 Định thức có 2 cột tỷ lệ 2 5. Tính đinh thức 2 T_ i VT 1 ai a2 a3 an ai 1 a2 a3 an ai a2 1 a3 . an . . . ai a2 a3 . 1 an Giải 1 ai an a2 a3 an 1 ai an 1 a2 a3 an 1 ai . an a2 1 a3 . an . . . . 1 ai . . an a2 a3 . . 1 an 1 ai an a2 a3 an 0 1 0 0 0 . . 0 1 0 . . . 1 ai . 0 . . . . 00 1 an Giải thích 1 Cộng các cột 2 3 . n vào cột 1 2 Nhân dòng 1 với -1 rồi cộng vào các dòng 2 3 . n 6. Tính đinh thức 0 1 1 . 1 1 0 x . x 1 . x . 0 . . x . . . 1 . . x . . x . . . 0 Giải Với x 0 T 1 VT 0 1 1 1 n 1 1 1 1 1 x 0 0 2 x 0 x 0 0 1 . 0 . x . . 0 . 0 0 x 0 . 1 . 0 0 . x . . 0 . . 0 . . 0 . . x