tailieunhanh - Bài tập ánh xạ liên tục

Giải tích cơ sở - Chuyên ngành: Giải tích, PPDH Toán - Phần 1: Không gian Metric - Bài tập Ánh xạ liên tục | GIẢI TÍCH CƠ SỞ Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 26 tháng 1 năm 2005 5. Bài ôn tập Bài 1 Trên X C O 1 ta xét metric hội tụ đều. Cho tập hợp A x G X x 1 1 0 x t 1 Vt G 0 1 và ánh xạ f X R f x í1 O x2 t dt. 1. Chứng minh inf f A 0 nhưng không tồn tại x G A để f x 0. 2. Chứng minh A không là tập compact. Giải 1. Đặt a inf f A . Ta có f x 0 Vx G A nên a 0. Với xn t tn ta có xn G A a f xn i t2n dt O 1 0 2n 1 n X Do đó a 0. Nếu f x 0 ta có x t 0 a x2 t Vt G 0 1 dt 0 x2 t 0 x2 t liên tục trên 0 1 x A. 2. Ta có J f liên tục trên X nhận giá trị trong R xem bài tập 3 t f x inf f A Vx G A A không compact xem lý thuyết 4 . 1 Bài 2 Cho X d là không gian metric compact và ánh xạ X X thỏa mãn d f x f y d x y Vx y 6 X x y. 1 Chứng minh tồn tại duy nhất điểm x0 6 X thỏa mãn x0 f x0 ta nói x0 là điểm bất động của ánh xạ f . Giải Ta xét hàm g X R g x d f x x x 6 X. Ta chỉ cần chứng minh tồn tại duy nhất x0 6 X sao cho g x0 0. Ắp dụng bất đẳng thức tứ giác và điều kiện 1 ta có g x - g y I d f x x - d f y y I 2d x y nên g liên tục. Từ đây và tính compact của X ta có 3x0 6 X g x0 inf g X 2 Ta sẽ chứng minh g x0 0. Giả sử g x0 0 ta đặt x1 f x0 thì x1 x0 do đó d f xi f x0 d xi x0 d f xi xi d f x0 x0 g x1 g x0 mẫu thuẫn với 2 . Vậy g x0 0 hay f x0 x0. Để chứng minh sự duy nhất ta giả sử trái lại có x x0 và x f xz . Khi đó d x x0 d f x f x0 d x 0 Ta gặp mâu thuẫn. Bài 3 Cho các không gian metric X d Y p và ánh xạ f X Y. Trên X X Y ta xét metric di x y x yZ d x x p y y x y x y 6 X X Y. và xét tập hợp G x f x x 6 X . 1. Giả sử f liên tục chứng minh G là tập đóng. 2. Giả sử G là tập đóng và Y p là không gian compact chứng minh f liên tục. Giải 1. Xét tùy ý dãy xra f xra c G mà lim xra f xra a b 1 Ta cần chứng minh a b 6 G hay b f a . Từ 1 ta có lim xn a 2 lim f xn b 3 . 2 Từ 2 và sự liên tục của f ta có lim f xn f a kết hợp với 3 ta có b f a đpcm . 2. Xét tùy ý tập đóng F c Y ta cần chứng minh f-1 F là tập đóng trong X Để chứng minh f-1 F đóng