tailieunhanh - Bài tập về không gian vecto Euclide

Đại số cơ bản - Ôn thi thạc sỹ toán học - Bài tập về không gian vecto Euclide | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 19. Bài tập về không gian véctơ Euclide PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1. Tìm một cơ sở trực giao cơ sở trực chuẩn của không gian véctơ con L của R4 trong các trường hợp sau a. L 1 2 3 với 1 1 1 0 0 2 1 1 1 1 3 0 -1 0 1 b. L ai ơ2 a3 với 1 1 2 2 -1 2 1 1 -5 3 3 3 2 8 -7 . c. L x1 x2 x3 x4 x1 - x2 x4 X2 X3 X4 0 0 Giải. a. Dễ thấy a1 a2 a3 ĐLTT nên a1 a2 a3 là cơ sở của L. Để tìm cơ sở trực giao của L ta chỉ cần trực giao hóa hệ véctơ a1 a2 a3. Ta có h1 a1 h2 a2 - 2 Ỷ A 1 1 1 1 - 2 1 1 0 0 0 0 1 1 2 2 1 2 a - 4 A - 2 A p W1 _- CỚ2 2 1111 0 -1 0 1 - 41 1 0 0 - ị 0 0 1 1 4 -1 -1 4 ọ ọ ọ ọ 0 0 2 2 2 2 2 2 Ta có thể chọn h3 1 -1 -1 1 . Vậy cơ sở trực giao của L là A 1 1 0 0 h2 0 0 1 1 1 -1 -1 1 Trực chuẩn hóa cơ sở trực giao trên ta được cơ sở trực chuẩn của L là 61 4 4 0 0 e2 0 0 4 4 e3 ỉ -1 -1 ỉ 4 o ọ ọ Ọ Ọ V2 V2 V2 V2 2 2 22 b. Giải tương tự câu a. chi tiết dành cho bạn đọc. c. Đầu tiên ta tìm một cơ sở của L. L là không gian nghiệm của hệ x1 - x2 x4 x2 - x3 - x4 0 0 1 do đó cơ sở của L là hệ nghiệm cơ bản của hệ 1 . Hệ 1 có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số x3 x4. Ta có X2 X3 X4 x1 x2 - x4 x3 1 do đó hệ nghiệm cơ bản của hệ 1 là Ơ1 1 1 1 0 a2 0 1 0 1 Do đó cơ sở của L là a1 a2. Trực giao hóa hệ véctơ a1 a2 ta sẽ được cơ sở trực giao của có ß1 ai ß2 Ơ2 - ß ß ßi 0 1 0 1 - 1 1 1 1 0 -1 2 -1 1 f ß1 ß1 1 v 3V v 3 3 3 Ta có thể chọn ß2 -1 2 -1 3 và cơ sở trực giao của L là ß1 1 1 1 0 ß2 -1 2 -1 3 Trực chuẩn hóa cơ sở trực giao ß1 ß2 ta được cơ sở trực chuẩn của L là 111 1 2 1 3 61 7 7 7 0 62 -- - 1 Õ Õ Õ 7 2 . TE . TE . TE . TE v3 V3 V3 V15 V15 V15 V15 2. Chứng minh các hệ véctơ sau là hệ trực giao trong R4. Hãy bổ sung chúng để được một cơ sở trực giao của R4 a. Ơ1 1 1 1 1 Ơ2 1 0 -1 0 b. Ơ1 0 0 1 1 Ơ2 1 1 1 - 1 Giải. a. Vì a1 a2 0 nên a1 a2. Để bổ sung được một cơ sở trực giao của R4 đầu tiên ta phải bổ sung thêm 2 véctơ a3 a4 của R4 để được một cơ sở của R4 sau đó ta trực giao hóa cơ sở đó ta sẽ được cơ sở trực