tailieunhanh - Chuyên đề sử dụng tiếp tuyến để tìm lời giải trong chứng minh bất đẳng thức

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề sử dụng tiếp tuyến để tìm lời giải trong chứng minh bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Chuyên đề sử dụng tiếp tuyến để tìm lời giải trong chứng minh bất đẳng thức SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN ĐỂ TÌM LỜI GIẢI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ta biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị còn tại điểm uốn của đồ thị thì tiếp tuyến xuyên qua nên ta có nhận xét sau. Nhận xét. Nếu y ax b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm A x0 y0 A không phải là điểm uốn khi đó tồn tại một khoảng ơ P chứa điểm x0 sao cho f x ax b Vx G a 3 hoặc f x ax b Vx G a 3 . Đẳng thức xảy ra khi x x0 Từ đây ta có f x1 f x2 f xn a X1 x2 . xn nb hoặc f X1 f X2 f Xn a X1 X2 Xn 3n với mọi x1 X2 . Xn G a 3 và đẳng thức xảy ra khi x1 x2 . xn x0. Nếu các biến Xị có tổng 2 Xị k k không đồi thì được viết lại dưới dạng sau i 1 f X1 f X2 f Xn ak nb hoặc f X1 f X2 f Xn ak nb . Bây giờ ta vận dụng nhận xét này để chứng minh một số bất đẳng thức. Bài toán 1. Cho a b cG R và a b c 6. Cmr a4 b4 c4 2 a3 b3 c3 Nhận xét. Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a b c 2 và Bđt cần chứng minh có dạng a4 - 2a3 b4 - 2b3 c4 - 2c3 0 f a f b f c 0 Trong đó f x x4 - 2x3 . Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại y f X điểm có hoành độ X 2 là y 8X -16. Ta hy vọng có sự đánh giá f X 8x -16 với Vx G R Ta có f x - 8x-16 x4 - 2x3 - 8x 16 x - 2 2 x2 - 2x 4 0 Vx . Vậy ta có lời giải như sau. Lời giải. Ta có a4 - 2a3 - 8a-16 a -2 2 a2 - 2a 4 0 VaG R a4 - 2a3 8a -16 Va G R. Tương tự ta cũng có b4 - 2b3 8b -16 c4 - 2c3 8c -16 . Cộng 3 bất đẳng thức này lại với nhau ta có a4 b4 c4 - 2 a3 b3 c3 8 a b c - 48 0 đpcm . Chú ý. Vì y 8x -16 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4-2x3 tại điểm có hoành độ x 2 nên ta có sự phân tích f x - 8x-16 x-2 kg x với k 2 và g 2 0. GV Nguyễn Tất Thu Nấm học 2005 - 2006 1 Chuyên đề sử dụng tiếp tuyến để tìm lời giải trong chứng minh bất đẳng thức 3 a b c 9 Bài toán 2. Cho a b c - và a b c 1. Cmr 7- - 3 . 4 a2 1 b2 1 c2 1 10 Vô địch Toán Ba Lan 1996 Nhận xét. Ta thấy đẳng thức xảy ra