tailieunhanh - Bất đẳng thức Svacxơ và ứng dụng

Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức svacxơ và ứng dụng', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ VÀ ỨNG DỤNG Bất đẳng thức Svacxơ được phát biểu như sau Cho hai dãy số thực . và k l 1-2 ií --i thì ta có aj j i . an 2 bi b2 - bn- bi b3 . bn w Ta sẽ chứng minh BĐT 1 bằng BĐT Bunhiacôpxki Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số alb n .__ f_ biVb Vbp và . b-ta được BĐT 1 . _ n Đẳng thức xảy ra khi . Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho sự tiện lợi của BĐT Svacxơ trong việc chứng minh BĐT Ở đây chỉ là những hướng dẫn cơ bản để các bạn có thể chứng minh BĐT còn phần đẳng thức xảy ra thì các ban có thể dễ dàng tìm ra nên không trình bày Ví dụ 1 Chứng minh rằng với các số dương a b c ta đều có ẳ Ỉ Ỉ ad-b c 9 Lời giải Ycbt yêu cầu bài toán _ Ị l l l 3 9 Áp dụng BĐT 1 được - a b-ỉ-c .i b-ỉ- suy ra ĐPCM Ví dụ 2 chứng minh rằng với các số dương a b c thoả mãn a -H 1 ta có a bc b2- -ca 2 Lời giải Áp dụng BĐT 1 được Ta có BĐT quen thuộc a - ó- - - a n - suy ra 1 - 3 - i - - vì .--b - J l ĐPCM ạ2 b2 j ç2 3 ab bc ca Ví dụ 3 chứng minh rằng với các số dương a b c thì ủ i--b ịj Lời giải Áp dụng BĐT 1 ta suy ra VT fr. b c 2 2 a b c Mà ta có BĐT quen thuộc - 4 - b àc-ì-tỵ. - i J ỳ. 1 j - ự. thay vào bên trên ta suy ra ĐPCM. _ a3 -L h2 cĩ 3 Ví dụ 4 Cho các số dương a b c thoả mãn abc 1. CMR I I I Lời giải Áp dụng BĐT Svacxơ được VT 5a b c 2 3 a b c TiìOA dot to oA 1 abc fa c a-Fb-Fc 3 Theo BĐT côsi ta có - - v rp a b c 3 _ a b c. 3 Từ đó suy ra - n - I ĐPCM Ví dụ 5 Cho a b c là các số dương và thoả mãn a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức rp _ỉ__b I G a2-F8bcb2 8ca 8ab rp _ G2 a b c 2 Lời giải Ta có a3 8abcb3 8abc c3 8abc c3_ _24akc a b c 3 - a3 b34-c3 3 aH-b- -c ab bc4-ca. -3abc a - b c 27 í abc 2-3abc a34-b34-c3 24abc Từ đó suy ra .. đạt được tại -1 3 Ví dụ 6 Cho a b c 0 và thoả mãn a b c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 0 _ 1-1 - Ạ2h2 c2Tabc O g Lời giải Áp dụng BĐT côsi có 1 Â b ai và - b bc-Fc a-2 ac j jc O -------_ _ - - ---X----_L - - Từ đó -a24-b2 c2 ab bc ca a b c ab bc