tailieunhanh - Tài liệu tham khảo: Bất đẳng thức

Tài liệu ôn tập tham khảo dành cho học sinh hệ trung học phổ thông ôn thi tốt nghiệp và ôn thi đại học-cao đẳng tham khảo luyện tập và củng cố lại kiến thức. | Chương I ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I. Tính chất cơ bản ax bx khi x 0 a. a b ax bx khi x 0 b. a b x y Chú ý b y a x b y a - b x - y ab xy ax by a x 0 c. V ab xy b y 0 d. a b a2 b2 Hệ quả a b a2 b2 o An 11 e. a b 0 a b 11 a b 0 ab f A 0 x A -A x A . . f x - A x A 1 1 x A II. Vài bất đẳng thức thông dụng Với a b c . tùy ý a b c. eR a. a2 b2 2ab Dâu xảy ra a b b. a2 b2 c2 ab bc ca Dâu xảy ra a b c -T 7 r. _r f . T_ 1 1 7 . 1 1 4 c. Với a b 0 ta có a b 1 y I 4 y 1 a b 1 a b a b -Ạ -A. I Ạ. I k A III. Các ví dụ n n 1 -11 1 1 Ấ. 1 r - 4 4 Chứng minh bât đăng thức tan x - tan y 1 - tan x tan y 1 Giải x y eí-4 41thì -1 tanx tany 1 0 tan2 x tan2y 1 Ta có tan x - tan y 1 - tan x tan y 1 1 tan2 x tan2 y-2tanxtany 1 -2tanxtany tan2 xtan2 y tan2 x tan2 y - tan2 x tan2 y -1 0 tan2 x 1 - tan2 y - 1 - tan2 y 0 1 - tan2 y tan2 x -1 0 Luôn đúng Vx y e Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi số thực a b c thỏa mãn điêu kiện a b c 1 thì 111 a b c I 3a 3b 3c I 3a 3b 3c I Giải Vì hàm số 1 giảm nên ta có x 1 1 a b a b 0 a - b 1 T I r 7 7 I3a 3b I 3b 3a 3a 3b Tương tự ta có b c b c c a c a 3c 3b 3b 3c 3 3c 3c 3a Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên chú ý rằng a b c 1 ta được 111 a b c Y a b c w w I w w w I 21 r I 3a 3b 3c I3a 3b 3 I I3 3b 3c I 111 a b c _. tt 3 t tt tt I đpcm 3a 3b 3c I 3a 3b 3c I Ví dụ 3 a. Cho x 0 y 0 và xy 1. Chứng minh 2 _L_ 1 1 Jxy 1 x 1 y b. Cho 0 a b c d và bd 1. Chứng minh 4 1 1 11 1 V abcd 1 a 1 b 1 c 1 d Giải a. Vì x 0 y 0 nên bất đẳng thức 1 tương đương với 2 1 x 1 y 1 Xxy 1 y 1 4xỹ 1 x 2 2x 2y 2xy 1 X y y y x 1 yl x x y x y 2xy Xxỳ x y 2 x y -X y x y 2 xy-Xxy 0 x y 1 -yỊxy 2y xỹ Jxy-1 0 1 xy x y - 2y ỹy 0 2 O 1 -y xy Vx -y ỹ 2 0 2 yfx-ỵ ỹ 2 0 A z_ zi x Vì t 2_ nên 2 đúng đpcm a b c d 0 b. ta b c d nên t bd 1 a b c d 0 a b ac db 1 L bd 1 Theo kếtquả câu a tacó Í z _ ---- -- --J a c 0 ac 1 1 a 1 c 1 4ac t - b d 0 bd 1 1 c 1 d 1 ạ bd 1 1 11 . 1 1 --- -T ---- -7 -------1 -. 1 a 1 b 1 c 1 d ỵ 1 yj ac 1 yj bd 2 1 . r nri 1 v ac