tailieunhanh - CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH (LUYỆN THI ĐẠI HỌC VÀ THI HSG)

Chuyên đề hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi - Tuyển tập các bài Toán hệ phương trình (có lời giải) dành cho học sinh giỏi thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia. Tác giả: Thầy Phạm Kim Chung (Nghệ An). | THÁNG 08 - KIM CHUNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH 0 I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG HOÁN VỊ VÒNG QUANH. Bài 1. Đề thi HSG quốc gia năm 1994 Giải hệ phương trình x 3x 3 In x x 1 y y3 3y 3 In y2 y 1 z z3 3z 3 In z2 z 1 x Giải Xét hàm số f t t3 3t - 3 In t2 -t 1 2t2 -1 Ta có f t 3t2 1 4 0 Vx e R t2 t 1 Vậy hàm số f t đồng biến trên R. Ta viết lại hệ phương trình như sau i Éy f z x Không mất tính tổng quát giả sử x min x y z . Lúc đó x y f x f y y z f y f z z x. Hay x y z x x y z Với x y z xét phương trình x3 2 x 3 In x2 x 1 0í ì. Do hàm số cp x x3 2x 3 In x2 x 1 đồng biến trên R nên pt có nghiệm duy nhất x 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y z 1. Bài toán tổng quát 1 . Xét hệ phương trình cố dạng f x1 g x2 f x2 g x3 . f xn 1 g xn f xn g x1 Nếu hai hám số f vá g cùng tăng trên tập A vá x1 x2. xn là. nghiệm của hệ phương trình trong đố xt e A Vi 1 2 . n thì x1 x2 . xn. Chứng minh Không mất tính tổng quát giả sử x1 min x1 x2. xn . Lúc đó ta có x1 x2 f x1 f x2 g x2 g x3 x2 x3. xn x1. Vậy x1 x2 . xn x1 Từ đó suy ra x1 x2 . xn. 1 Bài 2. Giải hệ phương trình 1 X 2x3 x2 4 J 1Y y3 y2 4 J 1 X 2z3 z2 4 J y z x Giải Xét hàm số Vì vế trái của các phương trình trong hệ đều dương nên hệ chỉ có nghiệm x y z 0. 2t3 t2 2t3 t2 ta có f t - 2ln4 3t2 1 . I 2 0 Vt 0. Vậy hàm số f t nghịch biến trên khoảng 0 . Không mất tính tổng quát giả sử x min x y z . Lúc đó x y f x f y y z f y f z z x x z f x f z y x . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y z 2. Bài toán tổng quát 2 . Xét hệ phương trình cố dạng với n lẻ mcitifx g x2 .c_am mathematics f x2 g x3 n students . f xn-1 g xn f x g xi Nếu hàm sô f giảm trên tập A g tăng trên A và x1 x2. xn là. nghiệm của hệ phương trình trong đố xt e A Vi 1 2 . n thì x1 x2 . xn với n lẻ . Chứng minh Không mất tính tổng quát giả sử x1 min x1 x2. xn . Lúc đó ta có x1 x2 f x1 f x2 g x2 g x3 x2 x3. xn x1 f xn f x1 x1 x2. x1 x2 Từ đó suy ra x1 x2 . xn. Bài 3. Giải hệ phương trình x -1 2 2 y y -1 2 2z z -1 2t t -1 2 2 x 2 Giải Vì vế trái của các phương trình .