tailieunhanh - Đề thi HSG Toán 9 kèm đáp án

Cùng tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 kèm đáp án giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn. | ĐẸ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - TỈNH BÌNH ĐỊNH MÔN TOÁN - Thời gian 150 phút - Ngày 18 - 03 - 2009 Bài 1 3 điểm Tìm tất cả các cặp số nguyên m n sao cho 2n3 - mn2 - 3n2 14n - 7m - 5 0 Bài 2 3 điểm Cho x y z là 3 số thực khác 0 và 0 x y x i yz zx xy Chứng minh rang 2 3 x2 y z2 Bài 3 3 điểm Giải hệ phương trình yx jy 7 ự x 20 yj y 3 6 Bài 4 4 điểm Cho điểm O thuộc miền trong của tam giác ABC. Các tia AO BO CO cắt các cạnh tam giác ABC lần lượt tại G E F. Chứng minh ràng OA OB OC 2 AG BE CF Bài 5 4 điểm Cho đường tròn O đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax với đường tròn O lấy điểm C sao cho AC AB. Đường thẳng BC cắt đường tròn O tại D M là một điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB và AC H là chân đường vuông góc hạ từ N xuống đường thẳng PD. a Xác đị nh vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. b Chứng minh rằng khi M thay đổi HN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 6 3 điểm Chứng minh 17 - - --1 7 18 y 2 y 3 7100 1 GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 tHcS - TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2008 - 2009 Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên m n sao cho 2n3 - mn2 - 3n2 14n - 7m - 5 0 1 Biến đổi 1 2n3 - 3n2 14n - 5 - m n2 7 0 _ 2n3 - 3n2 14n - 5 _ 3 16 m n2 7 _ n n2 7 Vì m n e Z nên n2 7 e Ư 16 suy ra n2 7 e 8 16 do đó n2 e 1 9 . Nếu n2 1 thì n 1 Nếu n2 9 thì n 3 Với n 1 ta có m 1 Với n -1 ta có m -3 Với n 3 ta có m 4 Với n -3 ta có m -8. Vậy ta tìm được 4 cặp giá trị m n e 1 1 -3 -1 4 3 -8 -3 . Bài 2. Cho x y z khác 0 thỏa 0. x y z . . . . yz zx xy Chứng minh 2 -2 3 x2 y z2 Trước hết ta chứng minh hằng đẳng thức a3 b3 c3 - 3abc a b c a2 b2 c2 - ab - bc - ca 1 a b c a - b 2 b - c 2 c - a 2 2 Ta có a3 b3 c3 - 3abc a b 3 c3 - 3ab a b - 3abc a b c a b 2 - a b c c2 - 3ab a b - 3abc a b c a b 2 - a b c c2 - 3ab a b c a b c a b 2 - a b c c2 - 3ab a b c a2 b2 c2 - ab - bc - ca 1 a b c a - b 2 b - c 2 c - a 2 2 Do đó a3 b3 c3 - 3abc 0 khi và chỉ khi a b c 0 hoặc a b c. Đặt a b c theo giả thiết 0 nên suy ra