tailieunhanh - Ứng dụng của phương trình sai phân trong tính tổng dãy số

Một tập hợp có thứ tự các số liệu phụ thuộc vào n(n є Z+) gọi là một dãy. Trong nhiều trường hợp người ta cần tính tổng một số số hạng đầu tiên của dãy số kiệu đó | Ứng dụng của phương trình sai phân trong tính tổng các số hạng của một dãy số. Một tập hợp có thứ tự các số liệu phụ thuộc vào n(n є Z+) gọi là một dãy. Trong nhiều trường hợp người ta cần tính tổng một số số hạng đầu tiên của dãy số kiệu đó. Có nhiều cách khác nhau để giải các bài toán như vậy. Sau đây là cách tính tổng bằng cách sử dụng kiến thức về phương trình sai phân. Cách này tỏ ra có hiệu quả cho một lớp tổng có dạng với những nét đặc trưng riêng. Ví dụ 1: Tính tổng S1 = 13 + 23 + 33 + + n3. Lời giải. Đặt k3 = a(k + 1) – a(k) (k = 1; 2; 3; ; n), ta có: S1 = a(n + 1) – a(1) Ta tìm a(n) từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau: a(n + 1) – a(n) = n3. Phương trình thuần nhất: a(n + 1) – a(n) = 0. Phương trình đặc trưng: k – 1 = 0 k = 1. Nghiệm tổng quát của PT thuần nhất: ā(n) = C Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng â(n) = n(An3 + Bn2 + Cn + D) = An4 + Bn3 + Cn2 + Dn. Tính â(n + 1), thay â(n), x(n +1) vào PT không thuần nhất, so sánh các hệ số của n, ta được hệ phương trình: Có â(n) = n4 - n3 + n2; a(n) = (n) + â(n) = C + n4 - n3 + n2. Do đó: S1 = a(n + 1) – a(1) = (n + 1)4 - (n + 1)3 + (n + 1)2 - + - n2 = n2(n + 1)2/4. Ví dụ 2: Tính tổng S2 = + + + + Lời giải. Đặt = a(k + 1) – a(k) (k = 1; 2; 3; ; n), ta có S2 = a(n + 1) – a(1). Ta tìm a(n) từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau a(n + 1) – a(n) = . Phương trình thuần nhất: a(n + 1) – a(n) = 0. Phương trình đặc trưng: k – 1= 0 k = 1. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: ā(n) = C. Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng â(n) = 2n(An + B). Tính â(n + 1), thay â(n), â(n + 1) vào phương trình không thuần nhất, so sánh các hệ số của n, ta được hệ phương trình: â(n) = (n – 2)2n; a(n) = ā(n) + â(n) = C + (n – 2)2n. Do đó: S2 = a(n +1) – a(1) = (2n – 2)2n + 2. Ví dụ 3: Tính tổng S3 = 1!1 + 2!2 + 3!3 + + n!n. Lời giải. Đặt k!k = a(k + 1) – a(k) (k = 1; 2; 3; ; n), ta có S3 = a(n + 1) – a(1) Ta tìm a(n) từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau a(n + 1) – a(n) = n!n. Phương trình thuần nhất: a(n + 1) – a(n) = 0. Phương trình đặc trưng: k – 1= 0 k = 1. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: ā(n) = C. Ta thử tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng â(n) = n!(An + B). Tính â(n + 1), thay â(n), â(n + 1) vào phương trình không thuần nhất, so sánh các hệ số của n, ta được hệ phương trình: â(n) = n!; a(n) = ā(n) + â(n) = C + n!. Do đó: S3 = a(n + 1) – a(1) = (n + 1)! - 1