tailieunhanh - Bài tập chuyên đề đại số _ lý thuyết phạm trù hàm tử

Bài tập chuyên đề đại số _ lý thuyết phạm trù hàm tử giành cho các bạn sinh viên, đặc biệt là ngành Toán. | Lê Ngọc Sơn - SP Toán K07 - ĐH Tây Nguyên Bài tập chuyên đề đại số CHUYÊN ĐỂ ĐẠI số Tài liệu này soạn với mục đích ôn thi kết thúc học phần Slí 1. Phạm trù - Hàm tử Bài tập 1. 1 Lấy ví dụ chứng tỏ toàn xạ chưa chắc toàn ánh 2 Lấy ví dụ chứng tỏ đơn xạ chưa chắc đơn ánh Lời giải. Xét phạm trù nửa nhóm có đơn vị với cấu xạ ở đây là các đồng cấu nhóm. Xét đồng cấu j N 0 Z 0 n n Rõ ràng j không toàn ánh vì 5 2 Z nhưng không có tạo ảnh. Bây giờ ta sẽ chứng minh j là toàn xạ. Thật vậy xét f g Z 0 M e thỏa mãn foj goj ta cần chứng minh f g. Lốy z 2 Z bất kì Nếu z 0 z 2 N. Khi đó ta có f z f j z g j z g z Các bài tập do đa số tự làm nên có thể có sai sót CÓ thể lây vd trong đề kiểm tra 1 Sonspt07@ gmail. com Typeset by ETpX Lê Ngọc Sơn - SP Toán K07 - ĐH Tây Nguyên Bài tập chuyên đề đại số Nếu z 0 z 2 N ta cố f z f z e f z g 0 f z g z z f z g z g z f z g j -z g z f z - z g z g z Vậy f z g z 8z 2 Z f g. Dớ đó j toàn xạ. 2 Nét phạm trù các nhóm chia được ì với câìt xạ là các đồng cấu nhóm. Nét đồng cấu f Q - Q Z q I q Z Rõ ràng f không đơn ánh vì I Z I Z nhưng 1 1 Ta sẽ chỉ ra f là đơn xạ. Thật vậy xét gi g2 A - Q thỏa mãn gi g2 ta cần chứng minh fgi fg2 Do gi g2 nên 9a 2 A sao cho gi a g2 a ns 1 n 2 N s 1 Do A là nhóm chia được nên 9b 2 A sao cho nb a. Khi đó ta cố n gi b - g2 b gi nb - g2 nb gi a - g2 a ns 1 Suy ra gi b - g2 b s 1 2 Z 1 Nhóm G được gọi là chia được nếu với mỗi g 2 G Nằ n 2 N luôn tồn tại g 2 G sao cho ng g 2 Sonspt07@ gmail. com Typeset by ETeX Lê Ngọc Sơn - SP Toán K07 - ĐH Tây Nguyên Bài tập chuyên đề đại số Do đó fgi b fg2 b fgi fg2-Vậy f là đơn xạ. Bài tập 2. Trong phạm trù tập hợp. Chứng minh a Ánh xạ f là đơn xạ f là đơn ánh b Ánh xạ f là toàn xạ f là toàn ánh Lời giải. a Xét f A B là đơn xạ ta cần chứng minh f đơn ánh. A 0 hiển nhiên f đơn ánh A 0. Khi đố Va a0 2 A sao cho f a f a ta cần chứng minh a a Với mọi X 0 xét hai ánh xạ g h X A xác định như sau g x a h x a Vx 2 X Với mọi x 2 X ta có f g x f a f a f h x Suy ra fg fh do f đơn xạ nên g h a a .