tailieunhanh - Phương pháp toán tử cho mô-men góc và cho dao động điều hòa

Phương pháp toán tử cho mô-men góc và cho dao động điều hòa Lý lê Ngày 9 tháng 9 năm 2009 Tóm tắt nội dung Các đặc trị của những toán tử năng lượng cho dao động điều hòa và toán tử mô-men góc của hạt chuyển động trên một mặt cầu đã được xác định bằng cách giải phương trình vi phân. Sau đây, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp khác để tìm các đặc trị này, được gọi là phương pháp toán tử bậc thang. Theo đó, các đặc trị được xác định chỉ cần dựa vào các. | Phương pháp toán tử cho mô-men góc và cho dao động điều hòa Lý lê Ngày 9 tháng 9 năm 2009 Tóm tắt nội dung Các đặc trị của những toán tử năng lượng cho dao động điều hòa và toán tử mô-men góc của hạt chuyển động trên một mặt cầu đã được xác định bằng cách giải phương trình vi phân. Sau đây chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp khác để tìm các đặc trị này được gọi là phương pháp toán tử bậc thang. Theo đó các đặc trị được xác định chỉ cần dựa vào các mối liên hệ giao hoán của các toán tử. 1 Phương pháp toán tử bậc thang cho mô-men góc Chúng ta đã dùng chữ cái L để chỉ mô-men góc orbital. Sau đây chúng ta sẽ dùng chữ cái M để chỉ mô-men góc nói chung. Có ba toán tử mô-men góc là Mx My Mz. Tính tất của chúng cũng giống như Lx Ly Lz mà chúng ta đã biết. Các mối liên hệ giao hoán của chúng như sau Mx My ihMz My Mz ihMx Toán tử M2 được xác định bởi M2 m2 M2 M 2 Mz Mx ihMy 1 2 Chúng ta có M2 Mx M2 My M2 Mz 0 3 Nhiệm vụ của chúng ta là sẽ xác định các đặc trị của M2 và Mz dựa vào những mối liên hệ trên. Trước hết chúng ta định nghĩa hai toán tử mới là toán tử tăng M và toán tử giảm M- như sau r. r. M Ị Mx iMy M- Mx iMy 4 5 Mị và M- là những ví dụ về toán tử bậc thang ladder operators . Sau - - đây chúng ta khảo sát tính giao hoán của chúng với toán tử Mz. 1 Ta có M M- Mx iMy Mx iMy M2 iMy Mx iMxMy M M M i My Mx Vì _ _ _ _ _ My M Mx My ihMZ nên M M- M2 MZ i My Mx M2 MZ hMZ 6 Tương tự ta tìm được M-M M2 m2 hMZ 7 Ta có M Mz Mx iMy Mz Mx Mz i My Mz với Mx Mz Mz M ihMy và My Mz ihMx Suy ra M Mz ihMy hMx h Mx iMy h M 8 Như vậy chúng ta thấy - - - - - - - - - - - _ - - . M Mz M Mz MzM hM 9 Do đó M Mz Mz M hM 10 Tương tự ta tìm được M-Mz Mz M- hM- 11 Gọi Y là những đặc hàm chung của M 2 và Mz ta có Mz Y bY M2Y cY 12 13 7 -X 1-. 1 4- X 1 Ấ 1 . X 9. 1- với b và c là những đặc trị cần xác định. Ap dụng toán tử M lên 12 ta nhận được - - - _ - - M Mz Y bM Y 14 2 với M Mz MzM IM. 14 trở thành Mz M hM Y bM Y hay Mz M Y b h M Y 15 Phương trình trên có nghĩa là hàm M Y là một đặc hàm của .