tailieunhanh - Chuyên đề ôn thi: Bất đẳng thức

Tài liệu học tập tham khảo về toán bất đẳng thức dành cho học sinh trung học phổ thông. | Nguyễn Tất Thu http BẤT ĐẲNG THỨC I. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho a b e R. Mệnh đề a b a b a b a b gọi là bất đẳng thức 2. Tính chất a b và b c a c a b a c b c a b và c d a c b d a b ac bc ac bc khi khi c 0 c 0 a b 0 Vã 4b a b 0 a2 b2 a b 0 an N1 3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối x a -a x a Với a 0 x a x a x -a Với a 0 4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Bđt Cauchy a Cho a b 0 ta có a 4ãb . Dấu xảy ra khi và chỉ khi a b Hệ quả . Hai số dương có tong không đoi thì tích lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau . Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau b Cho a b c 0 ta có a 3 c 3abc . Dấu xảy ra khi và chỉ khi a b c 5. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức I. Phương pháp biến đổi tương đương Để chứng minh BĐT dạng A B ta thường dùng các cách sau Cách 1 Ta chứng minh A - B 0. Để là điều này ta thường sử dụng các hằng đảng thức để phân tích A - B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm. Chú ý Một số kết quả ta thường hay sử dụng x2 0 ýx và x2 0 x 0 x 0 Vx và x 0 x 0 a2 b2 c2 0. Đẳng thức xảy ra a b c 0. Ví dụ 1 Cho hai số thực a b. Chứng minh rằng a2 b2 2ab. Giải Ta có a2 b2 - 2ab a b 2 0 a2 b2 2ab. Đẳng thức có a b. Ví dụ 2 Cho ba số thực a b c. Chứng minh rằng a2 b2 c2 ab bc ca I . Giải Ta có a2 b2 c2 - ab bc ca 2 a2 - 2ab b2 2 b2 - 2bc c2 2 c2 - 2ca a2 Trường THPTLê Hồng Phong Biên Hòa Đồng Nai Nguyễn Tất Thu http a b c d e 2 2 2 a _ b 2 b _ c 2 c _ a 2 0 a2 b2 c2 ab bc ca Đẳng thức xảy ra a b c. Ví dụ 3 Cho 5 số thực a b c d e. Cmr a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e . Giải Ta có a2 b2 c2 d2 e2 za2 2 a 2 a 2 a 2 ---ab b -ac c -ad d -ae e 4 4 4 4 a o a o a oa- a 2 a X 2 a 2 a 2 I_ b 2 l_ c 2 l_ d 2 l_ e 2 0 đpcm a Đẳng thức xảy ra b c d e . 2 4 4 4 Nhận xét 1 BĐT ở Ví dụ 3 cũng đúng với n số thực 1 n 5 còn n 6 thì không còn đúng nữa tức là BĐT aị a2 . a2 ữị a1 . ữị_1 ữị 1 . an đúng với n số thực n 5 . 2 Sử dụng hàng đẳng thức a b c 2 a2 b2 c2 viết BĐT 1 dưới các dạng sau a b c 3 ab bc ca 3 .