tailieunhanh - Bài tập về không gian vecto

Tham khảo tài liệu 'bài tập về không gian vecto', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 13. Bài tập về không gian véctơ PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1. Xét xem R2 có là không gian véctơ hay không với phép cộng và phép nhân vô hướng sau ai 2 bi 2 ai bi ữ2 2 a ữi ữ2 aai 0 Giải. Bạn đọc có thể kiểm tra trực tiếp rằng 7 điều kiện đầu của không gian véctơ đều thỏa mãn riêng điều kiện thứ 8 không thỏa mãn vì với a 1 1 khi đó 1 a 1 1 1 1 0 a. Vậy R2 với các phép toán trên không là không gian véctơ vì không thỏa mãn điều kiện 8. 2. Chứng minh rằng một không gian véctơ hoặc chỉ có một véctơ hoặc có vô số véctơ. Giải. Giả sử V là không gian véctơ và V có nhiều hơn 1 véctơ ta chứng minh V chứa vô số véctơ. Thật vậy vì V có nhiều hơn một véctơ nên tồn tại véctơ a E V a 0. Khi đó V chứa các véctơ aa với a E R. Mặt khác Va b E R aa ba o o o a b a 0 a b 0 vì a 0 a b Bởi vậy có vô số các véctơ dạng aa a E R do đó V chứa vô số véctơ. 3. Xét sự ĐLTT PTTT. Tìm hạng và hệ con ĐLTT tối đại của các hệ véctơ sau a ai 1 0 1 0 Ơ2 1 2 1 1 a 3 2 3 2 Ơ4 1 1 2 1 b ai 1 0 0 1 a 2 1 1 0 a 1 1 1 1 Ơ4 1 2 3 4 a 0 1 2 3 . Giải. a. Lập ma trận A tương ứng và tìm hạng của ma trận A 1 A 1 1 3 1 1 0 0 0 1 3 2 6 0 1 1 2 Vậy rankA 3 ít hơn số véctơ ma trận ứng với các véctơ H a4 a2 nên hệ con ĐLTT tối đại của a1 a2 3 a I là a1 a4 a2 và rank a1 a2 a3 a4 3. b. Giải tương tự câu a. bạn đọc tự giải. nên hệ trên là hệ PTTT. Vì 3 dòng khác không của 4. Cho hệ véctơ a1 a2 . am ĐLTT trong không gian véctơ V. Chứng minh a. Hệ véctơ 1 a1 42 a1 a2 . fìm a1 a2 . am cũng ĐLTT. b. Hệ véctơ Y1 11 1 . 1m m 72 21 1 . 2m m Y m am1a1 . . . mmam ĐLTT khi và chỉkhi detA 0 trong đó 11 12 . . 1m 21 22 . . 2m A . . . . . . . . . m1 m2 . . mm Giải. a. Giả sử b1 1 b2 . bmfim 0 với bi G R o b1 a 1 b2 1 2 . bm 1 . am 0 o b1 . bm 1 b2 . bm ơ2 . blf i 0 Vì a1 . am ĐLTT nên ta có b1 b2 . . . bm-1 bm 0 b2 . . . bm-1 bm 0 . . . . . . . bm-1 bm 0 bm 0 Suy ngược từ dưới lên ta có bm bm-1 . b1 0. Vậy A . Ớm ĐLTT. b Giả sử C1y1 2 . cmYm 0 với Cj E R o 11C1 21C2