tailieunhanh - Các bài toán về vành oclit

Tham khảo tài liệu 'các bài toán về vành oclit', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ĐẠI SỐ CƠ SỞ Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS. Trần Huyên Ngày 24 tháng 4 năm 2005 Bài 14. CÁC BÀI TOÁN VỀ vành ƠCLÍT Các vành chính - như đã biết ở mục trước - nhờ có tính chất cơ bản mỗi iđêan là iđêan chính mà sở hữu được khá nhiều các tính chất chia hết như trong vành Z các số nguyên. Tuy vậy chúng vẫn còn một khoảng cách khá xa so với Z. Chẳng hạn ước chung lớn nhất của hai phần tử trong một vành chính A đã tồn tại nói chung vẫn không có được một thuật toán tìm UCLN như trong vành số nguyên - thuật toán Ơclit. Khái niệm về vành Ơclit mà các điều kiện định nghĩa nó có được nhờ sự phân tích đánh giá các điều kiện đảm bảo cho sự thực hiện thuật toán Ơclit trong vành Z được xem là một bổ sung rút ngắn bớt khoảng cách đó. Định nghĩa Vành Ơclit là một miền nguyên A sao cho trên tập A các phần tử khác 0 xác định được ánh xạ ỏ A N vào tập số tự nhiên N thỏa các điều kiện E1 Nếu a b G A mà a b thì ỗ a ỏ b . E2 Va b G A b 0 luôn tồn tại q r G A sao cho a qb r hơn nữa nếu r 0 thì ỏ r ỏ b . Ánh xạ ỏ được gọi là hàm bậc hay ánh xạ Ơclit. Hiển nhiên vành Ơclit A là vành chính và đặc điểm nhận biết một vành Ơclit trong lớp các vành chính nói chung đó là sự xác định của hàm bậc trên nó. Vì vậy các bài toán về vành Ơclit ngoài các dạng tương tự như có trong vành chính mà cách xử lí nói chung cũng tương tự như trong vành chính đáng để ý hơn ở đây là các bài toán liên quan tới hàm bậc. Trứơc hết chính là các bài toán kiểm tra một vành đã cho là vành Ơclit. Ví dụ 1 a b G Z . Chứng minh rằng ffi cùng với hai phép toán cộng và nhân ma trận là một vành Ơclit. Giải Để chứng minh ffi là một vành Ơclit trước hết ta cần kiểm tra ffi là một miền nguyên theo các bước sau ffi có nhiều hơn một phần tử. ffi ỹ M2 với M2 là vành các ma trận cấp hai. a -b b Cho ffi 1 Đơn vị của 3 là 1 0 0 1 Phép nhân trên 3 là giao hoán. 3 không có ước của 0. Bốn bước đầu khá đơn giản xin dành cho bạn đọc. Để kiểm tra 3 không có ước của 0 ta để ý rằng a b a2 b2 0 o a b 0 b a nên a A b