tailieunhanh - Các bài toán về miền nguyên và trường

Tham khảo tài liệu 'các bài toán về miền nguyên và trường', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ĐẠI SỐ CƠ SỞ Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS. Trần Huyên Ngày 27 tháng 3 năm 2005 Bài 9. Các Bài Toán Về Miền Nguyên Và Trường Khái niệm miền nguyên được xem như là sự tổng quát hóa trực tiếp cấu trúc của vành số nguyên Z. Nó bao hàm hết tất cả các tính chất của vành Z được đặt trên các phép toán trong Z. Cụ thể là Định nghĩa 1 Miền nguyên là vành X giao hoán có đơn vị 1 0 và do vậy X 1 và tích của hai phần tử khác 0 là khác 0. Về điều kiện sau cùng của vành X tích của hai phần tử khác 0 là khác 0 cũng thường được phát biểu theo một ngôn ngữ khác tương đương là Vành X không có ước của 0 . Khái niệm ước của 0 được xác định như sau Định nghĩa 2 Trong vành giao hoán X phần tử a 0 được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần tử b 0 sao cho ab 0. Như vậy Miền nguyên là một vành giao hoán X có đơn vị 1 0 và không có ước của 0. Do điều kiện không có ước của 0 có thể được diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau vì vậy khái niệm miền nguyên ngoài hai định nghĩa được nói ở trên còn có thể xác định theo những cách khác. Ví dụ 1 Cho vành X giao hoán có đơn vị 1 0. Chứng minh rằng X là miền nguyên o trong X có luật giản ước cho các phần tử a 0 đối với phép nhân. Giải Cho X là miền nguyên. Khi đó với mỗi a 0 từ đẳng thức ax ay ta suy ra ax ay 0 a x y 0 x y 0 vì a 0 x y tức có luật giản ước cho mỗi phần tử a 0 nếu x y 0 thì a là ước của 0 . Ngược lại nếu X là vành giao hoán có đơn vị 1 0 và có luật giản ước cho mỗi phần tử x 0. 1 Khi đó nếu ab 0 thì hoặc a 0 hoặc a 0 nếu a 0 thì từ ab 0 suy ra b 0 sau khi giản ước a. Vậy X không có ước của 0 tức X là miền nguyên. Chú ý Luật giản ước cho mỗi a 0 trong miền nguyên là một tính chất quan trọng của miền nguyên và thường hay được sử dụng trong khá nhiều bài toán liên quan tới miền nguyên chẳng hạn ở ví dụ 2 dưới đây. Trước khi đưa ra ví dụ tiếp theo ta cần nhắc lại một khái niệm quan trọng khác là khái niệm trường. Định nghĩa 3 Trường là vành X giao hoán có đơn vị 1 0 và phần tử bất kỳ x 0 đều có nghịch đảo x-1 .