tailieunhanh - Đại số cơ bản

Tham khảo tài liệu 'đại số cơ bản', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 10. Không gian vectơ PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 18 tháng 3 năm 2005 1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa không gian vectơ Ký hiệu R là tập các số thực V là tập tùy ý khác 0. V gọi là không gian vectơ trên R mỗi phần tử của V gọi là một vectơ nếu trong V có 2 phép toán Phép cộng 2 vectơ tức là với mỗi cặp vectơ a ß G V xác định được một vectơ tổng a ß G V. Phép nhân vô hướng một số với một vectơ tức là với mỗi a G R và vectơ a G V xác định được một vectơ tích aa G V. Ngoài ra phép cộng và phép nhân trên phải thỏa mãn 8 điều kiện sau 1. Phép cộng kết hợp với mọi a ß Y G V a ß Y a ß y 2. Phép cộng giao hoán với mọi a ß G V a ß ß a 3. Phép cộng có vectơ-không tồn tại vectơ O G V vectơ-không có tính chất a O O a a với mọi a G V 4. Có vectơ đối với mọi vectơ a G V tồn tại vectơ a G V vectơ đối của a có tính chất a a a a O 5. Phép nhân phân phối với phép cộng với mọi a G R và các vectơ a ß G V a a ß aa aß 6. Phép nhân phân phối với phép cộng với mọi số thực a b G R mọi vectơ a G V a b a aa ba 7. Phép nhân kết hợp. Với mọi a b G R với mọi vectơ a G V ab a a ba 1 8. a với mọi vectơ a E V Như vậy để kiểm tra tập hợp V cùng với 2 phép toán cộng và nhân vô hướng có phải là không gian vectơ hay không ta phải kiểm tra xem chúng có thỏa mãn 8 điều kiện trên hay không. Bạn đọc có thể dễ dàng tự kiểm tra các ví dụ sau. Các ví dụ về không gian vectơ 1. V Rn a1 a2 . an aị E R với - Phép cộng a a1 . an E Rn ß b1 . bn E Rn a ß ai b1 . an bn E Rn - Phép nhân vô hướng với mọi a E R a a1 . an aa1 . aan thì V là một không gian vectơ. 2. V Mmxn R - tập các ma trận cấp m X n với hệ số thực - với phép cộng là phép cộng 2 ma trận phép nhân vô hướng là phép nhân một số thực với một ma trận là một không gian vectơ. 3. R x - tập các đa thức với hệ số thực - với phép cộng là phép cộng hai đa thức phép nhân vô hướng là phép nhân một số với một đa thức là không gian vectơ. 4. R là tập các số thực dương. Trong R ta định nghĩa phép cộng và phép .