tailieunhanh - CHƯƠNG 4: CHUỖI HÀM PHỨC

Tài liệu tham khảo về chuỗi hàm phức | CHƯƠNG 4 CHUỖI HÀM PHỨC 1. KHÁI NIỆM CHUNG 1. Định nghĩa Cho dãy các hàm biến phức Ui z u2 z u3 z . xác định trong miền E. Ta gọi biểu thức í un z U1 z U2 z Un z 1 n 1 là chuỗi hàm biến phức. Tổng của n số hạng đầu tiên là Sn z ui z u2 z un z được gọi tổng riêng thứ n của chuỗi hàm 1 . Nó là một hàm phức xác định trong miền E. Nếu tại z zo chuỗi í un zo hội tụ thì zo được gọi là điểm hội tụ của chuỗi n 1 hàm 1 . Nếu tại z zo chuỗi í un zo không hội tụ thì zo được gọi là điểm phân kì n 1 của chuỗi hàm 1 . Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của nó. Nếu gọi f z là tổng của chuỗi 1 tại điểm hội tụ z thì f z hiển nhiên là một hàm biến phức xác định trong miền hội tụ G. 2. Khái niệm về hội tụ đều Theo định nghĩa 1 ta có Vz e G limSn z f z 2 n TO Nếu đặt Rn z f z - Sn z thì đẳng thức 2 được viết là limRn z 0 n -X Điều đó có nghĩa là V8 0 cho trước tồn tại một số N e z dương phụ thuộc vào 8 và z sao cho khi n N thì Rn z 8. a. Định nghĩa Chuỗi hàm 1 được gọi là hội tụ đều trên tập Go c G nếu V8 0 cho trước tồn tại một số N chỉ phụ thuộc 8 N N 8 sao cho khi n N 8 thì Rn z 8 Vz e Go. b. Tiêu chuẩn Weierstrass Nếu un z an Vz e G và nếu chuỗi í an hội tụ n 1 thì chuỗi hàm 1 hội tụ đều trong miền G. Nói vắn tắt hơn chuỗi 1 sẽ hội tụ đều trong G nếu chuỗi các môđun của nó thừa nhận một chuỗi số dương trội hội tụ. Chứng minh Cho trước 8 0 ta sẽ chứng minh rằng tồn tại N 8 sao cho khi n N 8 thì Rn z 8 Vz e G. Thật vậy vì chuỗi í an hội tụ nên V8 luôn luôn tồn tại N 8 n 1 sao cho khi n N 8 thì rn an 1 an 2 8 Nhưng vì un 1 z an 1 un 2 z an 2 un 3 z an 3. nên Rn z un 1 z un 2 z un 1 z un 2 z an 1 an 2 8 69 Vz e G. Đó là điều cần chứng minh. c. Tính chất của chuỗi hội tụ đều Định lí 1 Nếu tất cả các số hạng un z của chuỗi hàm 10 đều liên tục trong miền G và nếu chuỗi hàm 1 hội tụ đều trong G thì tổng f z của nó cũng liên tục trong G. Chứng minh Giả sử z và z h là hai điểm bất kì trong G. Ta có f z Sn z Rn z f z h Sn z h Rn z h Cho trước s t phải chứng minh .