tailieunhanh - CHƯƠNG 2: PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN

Tham khảo tài liệu 'chương 2: phép biến hình bảo giác và các hàm sơ cấp cơ bản', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN 1. KHÁI NIỆM VỀ BIẾN HÌNH BẢO GIÁC 1. Phép biến hình bảo giác a. Định nghĩa Một phép biến hình được gọi là bảo giác tại z nếu nó có các tính chất - Bảo toàn góc giữa hai đường cong bất kì đi qua điểm z kể cả độ lớn và hướng - Có hệ số co dãn không đổi tại điểm đó nghĩa là mọi đường cong đi qua z đều có hệ số co dãn như nhau qua phép biến hình. Nếu phép biến hình là bảo giác tại mọi điểm của miền G thì nó được gọi là bảo giác trong miền G. b. Phép biến hình thực hiện bởi hàm giải tích Cho hàm w f z đơn diệp giải tích trong miền G. Do ý nghĩa hình học của f z ta thấy rằng phép biến hình được thực hiện bởi hàm w f z là bảo giác tại mọi điểm mà f z 0. Nếu chỉ xét trong một lân cận nhỏ của điểm z thì phép biến hình bảo giác là một phép đồng dạng do tính chất bảo toàn góc. Các góc tương ứng trong hai hình là bằng nhau. Mặt khác nếu xem hệ số co dãn là không đổi thì tỉ số giữa hai cạnh tương ứng là không đổi. Ngược lại người ta chứng minh được rằng phép biến hình w f z đơn diệp là bảo giác trong miền G thì hàm w f z giải tích trong G và có đạo hàm f z 0. 2. Bổ đề Schwarz Giả sử hàm f z giải tích trong hình tròn z R và f 0 0. Nếu z M với mọi z mà z R thì ta có lf z l Mlz I z R R Trong đó đẳng thức xảy ra tại z1 với 0 z R chỉ khi f z Meja R z a thực. 3. Nguyên lí đối xứng Trước hết ta thừa nhận một tính chất đặc biệt của hàm biến phức mà hàm biến số thực không có đó là tính duy nhất được phát biểu như sau Giả sử hai hàm f z và g z cùng giải tích trong miền D và thoả mãn f z g z trên một cung L nào đó nằm trong D khi đó f z g z trên toàn miền D. Giả sử D1 và D2 nằm kề nhau và có biên chung là L 23 Giả sử f1 z giải tích trong D1 và f2 z giải tích trong D2. Nếu f1 z f2 z trên L thì ta gọi f2 z là thác triển giải tích của f1 z qua L sang miền D2. Theo tính duy nhất của hàm giải tích nếu f3 z cũng là thác triển giải tích của f1 z qua L sang miền D2 thì ta phải có f3 z f2 z trong D2. Cách nhanh nhất để tìm thác triển giải