tailieunhanh - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Tham khảo tài liệu 'hệ phương trình vi phân cấp 1', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ĐỊNH NGHĨA F1(t,x1,x2, , xn, x1’,x2’, ,xn’) = 0 . Fn(t,x1,x2, , xn, x1’,x2’, ,xn’) = 0 Hệ tổng quát x1’ = f1(t,x1,x2, , xn) . xn’ = fn(t,x1,x2, , xn) Hệ chính tắc t : biến x1, x2 , , xn : ẩn hàm BÀI TOÁN CAUCHY x1’ = f1(t,x1,x2, , xn) xn’ = fn(t,x1,x2, , xn) Tìm nghiệm hệ Thỏa điều kiện x1(t0) = 1 xn(t0) = n Hệ n ptvp cấp 1 tương đương 1 ptvp cấp n nên hệ nghiệm có n hằng số tự do. PHƯƠNG PHÁP KHỬ B1: xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước. B2: giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1) hàm Vd: (1) (2) (3) Tt cấp 2 hệ số hằng Vậy nghiệm hệ đã cho là: HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG X’(t) = AX(t) + F(t) (Hệ ẩn hàm ) Cho trước Vd: PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT X’ = AX + F(t) A chéo hóa được( P: P-1AP = D (chéo) ) X’ = AX + F(t) X’ = PDP-1X + F(t) P-1X’ = DP-1X + P-1F(t) Đặt Y = P-1X: Y’ = DY + G(t) Hệ n ptvp tuyến tính cấp 1 X = PY giải Vậy nghiệm (1) là: Cách tìm ma trận P và ma trận chéo D Bước 1: tìm nghiệm pt: det(A – I ) = 0 (*) Bước 2: với mỗi , tìm nghiệm hệ (A – I )P = 0, P 0 Ma trận P có các cột là các nghiệm cơ bản của các hệ pt trên. Ma trận đường chéo D có các phần tử trên đường chéo là các (số lần xuất hiện của mỗi là số bội của trong pt (*)). Vị trí của trên đường chéo tương ứng với vị trí của nghiệm cơ bản trong P. PPTRỊ RIÊNG TÌM NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT X’(t) = AX(t) Y’ = DY P: P-1AP = D (chéo) Pk kà cột thứ k của P Ñònh Lyù: Heä X’ = AX(t), ma traän A có n giaù trò rieâng thöïc 1, 2 n (khoâng baét buoäc phaân bieät), töông öùng n vectô rieâng P1, P2 , , Pn ñoäc laäp tuyeán tính Nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát: Vd: A chọn chọn Cấu trúc nghiệm hệ tt không thuần nhất X = X0 + Xr X0 : nghiệm tổng quát hệ pt thuần nhất X’(t) = AX(t) Xr : nghiệm riêng hệ pt không thuần nhất Cấu trúc nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất X0 = C1X1 + C2X2 + + CnXn { Xk , k = 1, ,n }: hệ nghiệm độc lập tuyến tính của (1) (1) PP biến thiên hằng số tìm Xr Xr = C1(t)X1 + + Cn(t)Xn C’1(t)X1 + + C’n(t)Xn = F(t) Ci tìm từ hệ pt: | HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ĐỊNH NGHĨA F1(t,x1,x2, , xn, x1’,x2’, ,xn’) = 0 . Fn(t,x1,x2, , xn, x1’,x2’, ,xn’) = 0 Hệ tổng quát x1’ = f1(t,x1,x2, , xn) . xn’ = fn(t,x1,x2, , xn) Hệ chính tắc t : biến x1, x2 , , xn : ẩn hàm BÀI TOÁN CAUCHY x1’ = f1(t,x1,x2, , xn) xn’ = fn(t,x1,x2, , xn) Tìm nghiệm hệ Thỏa điều kiện x1(t0) = 1 xn(t0) = n Hệ n ptvp cấp 1 tương đương 1 ptvp cấp n nên hệ nghiệm có n hằng số tự do. PHƯƠNG PHÁP KHỬ B1: xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước. B2: giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1) hàm Vd: (1) (2) (3) Tt cấp 2 hệ số hằng Vậy nghiệm hệ đã cho là: HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG X’(t) = AX(t) + F(t) (Hệ ẩn hàm ) Cho trước Vd: PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT X’ = AX + F(t) A chéo hóa được( P: P-1AP = D (chéo) ) X’ = AX + F(t) X’ = PDP-1X + F(t) P-1X’ = DP-1X + P-1F(t) Đặt Y = P-1X: Y’ = DY + G(t) Hệ n ptvp tuyến tính cấp 1 X = PY giải Vậy nghiệm (1) là: Cách tìm ma trận P và ma trận chéo D Bước
đang nạp các trang xem trước
