tailieunhanh - các bài tập về phần giới hạn - dãy số

Bài tập GIỚI HẠN dãy số - Giới hạn hàm số - Hàm số liên tục thuộc chương trình môn Toán lớp 11 (Đại số và Giải tích 11 cơ bản, nâng cao). | Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG IV GIỚI HẠN 1 I. Giới hạn của dãy số __Giới hạn hữu hạn__ 1. Giới hạn đặc biệt lim 0 lim -ỉ- 0 k e n n n nk lim qn 0 q 1 lim C C n n 2. Định lí a Nếu lim un a lim vn b thì lim un vn a b lim un - vn a - b lim u a lim nếu b 0 vn b b Nếu un 0 n và lim un a thì a 0 và lim Ựũ- Vã c Nếu ũj vn n và lim vn 0 thì lim un 0 d Nếu lim un a thì lim ũj I a 3. Tong của cấp so nhân lùi vô hạn ũ1 I q 1 S uị u q u q __Giới hạn vô cực__ 1. Giới hạn đặc biệt limVn limnk ke lim qn q 1 2. Định lí a Nếu limlũ thì lim 0 n ũn ũn . b Nêu lim un a lim vn thì lim 0 vn c Nếu lim un a 0 lim vn 0 . ũ- nếũ 0 thì lim v - nếũ 0 n n d Nếu lim un lim vn a thì lim 1 í 1 - nếũ a 0 nếũ a 0 Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định - thì phải tìm cách khử 0 dạng vô định. Một so phương pháp tìm giới hạn của dãy so Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. n 1 1 VD a lim - lim------n v 2n 3 o 3 2 2 -n c lim n2 - 4n 1 lim n2 b lim _ 1 - 2n 1 ì n - 3n lim 1 1 - 3 1 1 - 2 n . 4 . 1 - n è n n2 0 Nhân lượng liên hợp Dùng các hằng đắng thức Vã fb yfã Vb a -b Vã - a - b 2 T ỵ n 3n n n 3n n 3n VD lim Vn2 - 3n - n lim n--m . - lim . 1 - vn2 -3n n Vn2 - 3n n Dùng định lí kẹp Nếu ũj vn n và lim vn 0 thì lim un 0 3 2 Trang 1 Trần Sĩ Tùng VD a Tính lim Sllin n Vì 0 sinn 1 1 sinn và lim 0 nên lim---- 0 b Tính lim3sinno 4cosn. Vì 3sinn-4cosn 2n2 1 3 sin n - 4 cos n nên 0 ------------- 2n2 1 5 Mà lim ------ 2n2 1 32 42 sin2n cos2 n 5 nên 0 5 - . . 2n2 1 3sinn - 4cosn 0 nên lim 0 2n2 1 n Khi tính các giới hạn dạng phân thức ta chủ ý một số trường hợp sau đây Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mãu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. Nếu bậc của từ bằng bậc của mãu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mãu. Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là nếu hệ số cao nhất của tử và mãu cùng dấu và kết quả